10. évfolyam
Szakaszonként értelmezett függvény
Információ ehhez a munkalaphoz
Módszertani célkitűzés
Legfeljebb három „részből” álló, úgynevezett szakaszonként értelmezett függvény megadása, ábrázolása. Az esetlegesen nem folytonos értelmezési tartomány, illetve nem folytonos
függvény fogalmának szemléltetése.
Az alkalmazás nehézségi szintje, tanárként
Könnyű, nem igényel külön készülést.
Módszertani megjegyzés, tanári szerep
A tananyagegység célja egy szakaszonként értelmezett függvény ábrázolása, és elemzése.
Ez a tananyagegység kifejezetten akkor hasznos, ha minden gyerek maga kísérletezhet az interaktív alkalmazással.
Ha nincs lehetősége a diákoknak egyéni számítógépes munkára, de van interaktív tábla az osztályteremben, akkor igyekezzünk az elemzéseket minél több gyerek bevonásával elvégezni. Használjuk az eszközhiányt arra, hogy beszéltessük a gyerekeket a „matematika nyelvén”. Ha befejezte a diák az elemzését, beszéljük meg, ha valahol hibás volt a gondolatmenete, de ne fedjük fel a jó megoldást!
Hagyjuk, hogy akár ő, akár egy másik gyermek újra próbálkozzon.
Ha már több hasonló függvényt ábrázoltunk és jellemeztünk, akkor foglaljuk össze – mind egyéni munka esetén, mind frontális óratartás esetén –, hogy miben különbözhet egy szakaszonként értelmezett függvény az eddig megismert elemi függvényektől.
A Tananyagegység többféle további célt szolgálhat:
-
- Fizikában is használható lehet egyenletesen töltött gömb térerősségének és potenciáljának ábrázolására, változó sebességű mozgások leírására.
- A függvény pontbeli deriválhatóságának definícióját kiválón lehet szemléltetni az intervallumok „csatlakozási pontjában”, ha ott értelmezve van a függvény.
Ebben az esetben szemléletesen érthetővé válik az egyik oldali derivált létezése (ha például a csatlakozási pontban nem folytonos a függvény) és a pontbeli derivált létezése, ha a függvény az adott pontban folytonos. Egyszerű példák adhatók az adott pontban folytonos, ámde ott nem deriválható függvényekre is.
A tanuló maga is előállíthat rajzzal megadott „kapcsos függvényekhez” hozzárendelési szabályokat.
Felhasználói leírás
Hány részből álljon a függvényed? Ha nem 2, hanem 3 részből szeretnéd összeállítani, akkor a beviteli mezőbe írd át a megfelelő számot.
Add meg a [–20; 20] intervallumon, vagy annak tetszőleges részintervallumain a hozzárendelési szabályaidat. Az ábrázolás után döntsd el, függvényt ad-e meg a hozzárendelésed! Ha függvényt ad meg, akkor végezd el a függvény elemzését! Miben más ez a függvény, mint az eddig ismert függvények?
Tanácsok az interaktív alkalmazás használatához
Először döntsd el, hogy 2 vagy 3 „részből” álljon a függvényed!
Az értelmezési tartományok meghatározásakor ügyelj a nyílt, zárt, félig nyílt formákra!
Kattints a megfelelő jelölőnégyzetbe, ha zárttá szeretnéd tenni az intervallum aktuális végét. Ha szakaszonként értelmezett függvényt szeretnél megadni, akkor egyetlen helyen se akarj két különböző függvényértéket definiálni, viszont az értelmezési tartományként megadott intervallumok minden pontjában lennie kell helyettesítési értéknek (függvényértéknek) is!
A függvény megadásához válaszd ki a megadott négy lehetőség közül, a számodra megfelelő elemi függvényeket azzal, hogy a nevüket tartalmazó gombra kattintasz.
Ha ez megvan, állítsd be a megfelelő paramétereket (az intervallum végpontjait,
illetve a hozzárendelési szabályban látható betűk értékeit).
Feladatok
- Mi a hozzárendelésed értelmezési tartománya?
a) Függvényt kaptál?
b) Egyetlen intervallum az értelmezési tartomány?
c) Ha a kiválasztott függvénytípusok között szerepel „törtes” függvény, akkor vizsgáld meg, hogy a hozzárendelési szabálya a megadott intervallum minden pontjában ad-e helyettesítési értéket! (Ha nem, akkor ez mit jelent a teljes függvény értelmezési tartományára nézve?) - Ha függvényt kaptál, akkor annak mi az értékkészlete?
- Van-e zérushelye a függvénynek?
a)Ha van, akkor mennyi van, és mi az/melyek azok? - Van-e szélsőértéke a függvénynek?
a) Ha van, akkor milyen? (lokális, globális, minimum, maximum)
b) Hol van, és mennyi az értéke? - Milyen monotonitási karakterrel/ karakterekkel rendelkezik a függvény, és milyen halmazon?
- Van-e (alulról) konvex, illetve konkáv része a függvénynek?
a) Ha igen, milyen intervallumon? - Van-e inflexiós pontja?
- Milyen a paritása?
- Rendelkezik-e valamilyen korláttal?
a) Ha igen, milyennel, és mi a lehetséges korlátok közül a legkisebb/legnagyobb? - Ha a végső (szakaszonként definiált) függvény értelmezési tartománya egy intervallum, akkor vizsgáld meg, hogy „összefüggő” lett-e a függvény grafikonja!
a) Ha nem „összefüggő”, akkor „mennyire nem az”?
b) Egyetlen pontban „lyukad ki”, vagy „ugrások vannak” a szakaszvégeknél?