GEOMATECH tananyagok

KERESÉS

Felhasználói leírás

Adjuk meg az m paraméter értékét úgy, hogy az $(m+1)\cdot x^2-2(m-1)\cdot x+3m-3\geq 0$ egyenlőtlenség minden valós számra teljesüljön!

Tanácsok az interaktív alkalmazás használatához

A program megjeleníti az eredeti egyenlőtlenség m-től függőalakját, továbbá az m különböző értékeihez tartozó $x\longrightarrow (m+1)\cdot x^2 - 2(m-1)\cdot x+3m-3$ függvényeket, valamint az $m\longrightarrow -8m^2 - 8m+16(m\neq -1)$ függvényt, amely a diszkriminánsnak az paramétertől való függését szemlélteti. Ez utóbbi segít abban, hogy meghatározzuk az eredeti feladatra a választ. A grafikonon az x tengelyen a piros és kék részek jelzik, hogy a másodfokú függvény értéke mikor kisebb, illetve nagyobb 0-nál. Azaz a „piros x értékekre” igaz az egyenlőtlenség, a „kékekre” pedig nem igaz.

Feladatok

1. Az m paraméter értékét változtató csúszka segítségével keresd meg, hogy mikor lesz minden valós szám megoldása az egyenlőtlenségnek!
   INFORMÁCIÓ

   Megoldás: Ha  $m\geq 1$.
2. Hogyan lehetséges, hogy egy $ax^2+bx+c\geq 0$ alakú másodfokú egyenlőtlenség, az x minden lehetséges értékére igaz? Mit jelent ez az $x\longrightarrow x^2+bx+c$ másodfokú függvény grafikonjára nézve? A főegyütthatóra milyen feltételnek kell teljesülnie ebben az esetben?
   INFORMÁCIÓ

   Megoldás: Akkor lehetséges, ha a másodfokú kifejezés az x minden lehetséges értékére nemnegatív. Ilyenkor a függvénygörbe egyetlen pontja sincs az x tengely alatt. A főegyüttható ilyenkor csak pozitív szám lehet.
3. Az m paraméter mely értékére lesz a főegyüttható nulla? Ekkor milyen egyenlőtlenséget kapsz? Mi a megoldása ennek az egyenlőtlenségnek? Ez a megoldáshalmaz megfelel-e a feladat kritériumainak?
   INFORMÁCIÓ

   Megoldás: $m= -1$ az egyenlőtlenség ekkor: $4x-6 \geq 0$. Az egyenlőtlenség megoldása ilyenkor $x\geq \frac{3}{2}$, azaz nem igaz az összes valós számra.
4. Az előző másodfokú egyenlőtlenségből alkotott $ax^2+bx+c= 0$ alakú másodfokú egyenletnek mikor lesz egy megoldása? Mit jelent ez grafikonon ábrázolva?
   INFORMÁCIÓ

   Megoldás: Egy másodfokú egyenletnek akkor van egy megoldása, ha a diszkriminánsa 0. Ilyenkor a függvénygörbe érinti az x tengelyt.
5. Írd fel a feladatban megfogalmazott egyenlet diszkriminánsát, a lehető legegyszerűbb alakban.
   INFORMÁCIÓ

   Megoldás: $D= [-2(m-1)^2-4(m+1)(3m-3)$, azaz $D=-8m^2-8m+16$
6. Ha D=0, akkor az  $x\longrightarrow x^2+bx+c$ alakú másodfokú függvény grafikonja érinti az x tengelyt. Mely m értékekre lesz 0 a diszkrimináns?
   INFORMÁCIÓ

   Megoldás: A gyökök: $m_1=-2; m_2=1$
7. Az előbb kiszámolt gyökök esetén az eredeti másodfokú egyenlőtlenség minden valós számra igaz vagy minden valós számra hamis (a gyököt leszámítva), és ezt a főegyüttható előjele dönti el. Mindkét m érték alapján számold ki a főegyütthatókat, és döntsd el, hogy igaz vagy hamis az adott esetben az eredeti egyenlőtlenség!
   INFORMÁCIÓ

   Megoldás: $m_{1}$ esetén a főegyüttható: $a=-1$ , így az egyenlőtlenség csak egyetlen x értékre igaz (x=3); $m_{2}$ esetén a főegyüttható: $a=2$, így az egyenlőtlenség minden x értékre igaz.)
8. Ha D<0, akkor a másodfokú függvénynek nincs zérushelye, a grafikonja teljes egészében az x tengely alatt vagy felett helyezkedik el. Ezen esetekben szintén a főegyüttható előjele dönti el, hogy minden függvényérték pozitív vagy mindegyik negatív. Mely esetekben negatív a diszkrimináns? Ezen esetek közül mikor negatív, illetve mikor pozitív az egyenlőtlenség főegyütthatója?
   INFORMÁCIÓ

   Megoldás: A diszkrimináns negatív, ha $m\lt -2$ , vagy $m\gt 1$ . Az első esetben a főegyüttható negatív, így ezen esetekben az egyenlőtlenség mindig hamis. A második esetben a főegyüttható mindig pozitív, így ezen m értékekre az összes valós szám esetén igaz lesz az egyenlőtlenség.
9. Ha D>0, akkor a függvény grafikonja metszi az x tengelyt, így ezek az m értékek nem felelnek meg. Az m mely értékeire lesz a D>0?
   INFORMÁCIÓ

   Megoldás: D>0, ha  ]–2 ;1 [ \ {–1}.
10. Foglald össze a feladat eredményét!
    INFORMÁCIÓ

    Megoldás:

    Ha m<-1, akkor az egyenlőtlenség elsőfokú, ezért nem lehet minden valós szám megoldása. Ha $m\neq -1$ , akkor az egyenlőtlenség másodfokú, ezekkel az esetekkel foglalkozunk az alábbiakban:
    - ha m<-2, akkor az egyenlőtlenség minden valós számra hamis (nincs valós megoldása);
    - ha m=-2, akkor csak az x=3 a megoldás;
    - ha $-2\lt m\lt 1$, akkor az egyenlőtlenség a valós számok egy adott intervallumán igaz;
    - ha $m\geq 1$, akkor az egyenlőtlenség minden valós számra igaz.