GEOMATECH tananyagok

KERESÉS

Felhasználói leírás

Adott egy kocka az A, B, C, D, E, F, G, H csúcsokkal, a G csúcsból induló éleken a mozgatható P pont és a vele együtt  mozgó Q és R pontok, továbbá ezen pontokra illeszkedő sík. Figyeld meg a két alakzat áthatását! 

Állíts be különböző helyzeteket, ezekhez használhatod az Osztópontokat is! 

Tanácsok az interaktív alkalmazás használatához

Az interaktív alkalmazás bal oldali ablakában a térbeli elhelyezkedést látjuk. 
A panelen csúszka segítségével beállíthatjuk a sík átláthatóságát.
A kocka élén a P pont szabadon mozgatható (ha nem az Osztópontok funkcióval választottuk). Q és R vele együtt mozog, G-től mindig azonos távolságra.
Az Osztópontok lehetőséget választva (pipa), az éleken megjelennek a felező (N₂), harmadoló (H₁,H₂) és negyedelő (N₁, N₂, N₃) pontok. Ezekből egyet kijelölve (ekkor zöldre vált), majd a pipa törlésével rögzítve, adott helyzetű háromszöget hozhatunk létre.
Az Újra  gomb megnyomása után újabb beállításokat tehetünk.
A bal oldali rajzlapon a jobb egér gomb lenyomásakor a kockát tetszőleges irányba forgathatjuk.
A jobb oldali rajzlap az aktuálisan létrejövő síkmetszetet, a PQR háromszöget mutatja. Ennek különböző adatait jeleníthetjük meg a panelen található, Oldalhosszak és Terület opciók kiválasztásával. A lemetszett gúla Oldaléleinek hosszát, Felszín és Térfogat értékeit is láthatjuk, ha a megfelelő négyzetbe kattintunk.

Feladatok

1. A mozgatás során a P, Q és R pontok mindig egyenlő távolságra lesznek G-től.Mit mondhatsz ekkor 

   a)      az oldallapokból lemetszett PQG, QRG, RPG háromszögekről?

   b)      és a PQR háromszögről?

   INFORMÁCIÓ

   Megoldás: a) Egybevágó egyenlő szárú derékszögű háromszögek. b) Egyenlő oldalú háromszög.

2. A megadott oldalhosszakból határozd meg a PQR háromszög területét! Számolásodat ellenőrizd!
   INFORMÁCIÓ

   Megoldás: Az a oldalhosszúságú, egyenlő oldalú háromszög területe a $T=\frac{\sqrt{3} }{4} \cdot a^{2}$ képlettel számolható.
   
   

3. Használd az Osztópontok lehetőséget (pipa)! Válassz

   a) negyedelő (N₁, N₂, N₃)

   b) harmadoló (H₁, H₂)

   c) felezőpontokat (N₂)!

   INFORMÁCIÓ

   Megoldás: A kijelölt pont színe zöldre vált. Ezután a pipát kivéve ismét megjelenik a metsző sík és a metszet háromszög.
4. Határozd meg a beállított negyedelő, harmadoló, felező pontokhoz tartozó PQR háromszögek területének arányát!
   INFORMÁCIÓ

   Megoldás: Ha a GP távolsága  él rendre $\frac{1}{4}, \frac{1}{3}, \frac{1}{2}$ része, akkor a keletkezett PQR háromszögek területének aránya rendre $\frac{1}{16}, \frac{1}{9}, \frac{1}{4}$  .
5. Figyeld meg a levágott PQRG testet! Milyen alakzatról van szó?
   INFORMÁCIÓ

   Megoldás: Alaplapja szabályos háromszög, csúcsának merőleges vetülete az alaplap középpontja, tehát szabályos háromoldalú gúláról van szó.

6. Fejezd ki a gúla oldaléleit, felszínét és térfogatát az ismert alapél (a=PQ) segítségével! Megoldásaidat konkrét adatokkal ellenőrizd!

   INFORMÁCIÓ

   Megoldás: A gúla oldalélei az egyenlő szárú derékszögű háromszögekből számolhatók: $PG=\frac{a}{\sqrt{2} }$. 
   Felszíne $A=T_{alap}+3\cdot T_{oldal}=\frac{\sqrt{3} }{4}\cdot a^{2}+3\cdot   \frac{a^{2} }{4}  =\frac{\sqrt{3}+3 }{4} \cdot a^{2}$.
   Tekintsük a PQG háromszöget a gúla alapjának, ekkor a hozzá tartozó testmagasság: $RG=\frac{a}{\sqrt{2} }$
   Tehát a térfogat a  $V=\frac{1}{3}\cdot T_{alap}  \cdot M_{test}$ képlet alapján $V=\frac{1}{3} \cdot \frac{a^{2} }{4} \cdot \frac{a}{\sqrt {2}}=\frac{\sqrt{2}}{24}  \cdot a^{3}$.
   
   

7. Házi feladat: Határozd meg a PQR sík és a pont távolságát!