GEOMATECH tananyagok

KERESÉS

Felhasználói leírás

Az A, B, C csúcsok mozgatásával hozz létre egy hegyesszögű háromszöget! Ezután mozgasd a P pontot az AB szakaszon egy neked tetsző helyre! Ha megfelelőnek találod így a síkidomot és a pontot, kattints a háromszög rögzítése mezőbe! Az ekkor megjelenő R és Q pontokat mozgatva keresd meg azt a PQR háromszöget, amelynek a kerülete minimális!

Tanácsok az interaktív alkalmazás használatához

Az A, B, C csúcsok mozgatásával, a segédanyag indulásakor rögzíthetünk egy tetszőleges hegyesszögű háromszöget. A háromszög AB oldalán tetszőleges helyzetbe mozgathatjuk a P pontot.
„A háromszög rögzítése” mezőt kipipálva fixálhatjuk az alakzatot. A háromszög oldalain megjelenő Q és R pontok mozgatásával kereshetjük a minimális kerületű háromszöget.
A „Segítség” csúszka 4 fokozatú.
Az első fokozat beállítása után megjelenik a kerület abszolút minimuma, illetve az a legkisebb kerület, amit sikerült a kísérletezgetés során beállítani. A pontok mozgatásával az aktuális kerület érték együtt mozog. A második fokozatnál megjelennek a tengelyes tükrözések segédvonalai és a tükörképek. A harmadik fokozatnál megjelenik a P`P`` szakasz, valamint e szakasznak a háromszög oldalaival alkotott metszéspontjai. Az utolsó fokozat beállításával megjelenik – zöld színnel – a minimális kerületű háromszög.

Segítő kérdések

Használd fel a Legrövidebb töröttvonal két pont között című anyag tapasztalatait.

1. Hogyan találhatod meg a rögzített P és R pontokhoz azt a Q pontot, amelyik illeszkedik az AC oldalra és a lehető legrövidebb lesz a PQ és QR szakaszok hosszának az összege?
   VÁLASZ:

   Tükrözöm a P pontot az AC oldalra, így kapom a P` pontot. A P` pontot összekötöm az R ponttal. Ekkor az AC oldalon keletkező metszéspont kijelöli a Q pont helyét.
2. Hogyan keresnéd meg az R pont helyét a BC oldalon, úgy, hogy rögzített P és Q pontok esetén a PR és RQ szakaszok hosszának összege a legrövidebb legyen?
   VÁLASZ:

   Tükrözöm a P pontot a BC oldalra, így kapom a P`` pontot. A P`` pontot összekötöm a Q ponttal. Ekkor a BC oldalon keletkező metszéspont kijelöli az R pont helyét.
3. Ha már külön – külön megtaláltuk, milyen esetben lesz a PQ és QR szakaszok hosszának az összege, illetve a PR és RQ szakaszok hosszának összege a legrövidebb, hogyan tudnánk elérni, hogy a három szakasz (PR, RQ, QP) hosszának összege is minimális legyen?
4. Az előzőekben felhasználtuk, hogy két pont között a „legrövidebb út az egyenes”. A három szakasz összegére is fel tudjuk használni ezt az ismeretet?
   VÁLASZ:

   Kössük össze az 1. és a 2. pontban talált P` és P`` pontokat. A P`P`` szakasz és a háromszög megfelelő oldalainak metszéspontja lesz a keresett 2 pont.
   
   KAPCSOLÓDÓ ÉRDEKESSÉG
   Ez a bizonyítás Fejér Lipót nevéhez kötődik. Diákkorában adott megoldásának ez az anyag az első részét dolgozza fel. A második rész a Talpponti háromszög 2. című anyagban található.
5. Hogyan lehetne belátni, hogy tényleg ez a legkisebb kerület?
   VÁLASZ:

   Az ABC háromszög és a P pont rögzítése miatt a P`, P`` pontok, és így a P`P`` szakasz hossza is állandó. A tükrözés miatt a P`Q szakasz hossza megegyezik a PQ szakasz hosszával, a P``R szakasz hossza pedig a PR szakasz hosszával azonos. Így a P`QRP`` töröttvonal hossza mindig megegyezik a beírt PQR háromszög kerületével. A négy pont által meghatározott töröttvonal hossza akkor lesz minimális, ha Q és R illeszkedik a P`P`` szakaszra.
   [VÁLASZ:]