9. évfolyam
Szabályos-e a pénzérme
Információ ehhez a munkalaphoz
Szükséges előismeret
Binomiális eloszlás.
Módszertani célkitűzés
A hipotézisvizsgálat alapjainak előkészítése, a binomiális eloszlás egy fontos alkalmazása.
Az alkalmazás nehézségi szintje, tanárként
Nehéz (érdemes előre megismerni a teljes anyagot).
Felhasználói leírás
Egy pénzérme szabályosságának ellenőrzésére az érmét feldobjuk 500-szor és 275 fejet kapunk. Elhiszed-e, hogy szabályos?
FELADAT
Ha egy pénzérmét feldobunk 500-szor, akkor 5%-os szignifikanciaszint esetén milyen értékek közé kell esnie a fejek számának ahhoz, hogy az érmét szabályosnak fogadjuk el?
Másképpen fogalmazva azt akarjuk, hogy legfeljebb 5% legyen annak a valószínűsége, hogy hibás döntést hozunk: az érmét szabálytalannak véljük, pedig az érme szabályos.
VÁLASZ:
500 feldobásból várhatóan 250-szer kapunk fejet. Annak a valószínűsége azonban, hogy pontosan 250-szer dobunk fejet, viszonylag kicsi, csupán 3,57%. Ha a pénzérme szabályos, akkor a fejek száma nagy valószínűséggel „250 körüli” lesz.
Vajon egy konkrét pénzérme-dobássorozat után mekkora az az eltérés (a 250-től), amely esetén még szabályosnak véljük az érmét?
Ezt az eltérést mi adhatjuk meg a kísérletsorozat elvégzése előtt. Ha a kísérletsorozat elvégzése után azt tapasztaljuk, hogy az eltérés az előre megadott értéket meghaladja, akkor nem hisszük el, hogy a pénzérme szabályos; ha nem haladja meg, akkor pedig elfogadjuk azt a feltételezést, hogy a pénzérme szabályos.
Az eltérést a szignifikanciaszinttel adjuk meg.
Ha a szignifikanciaszint 5%, akkor ez meghatároz egy 250-re szimmetrikusan elhelyezkedő intervallumot, amelybe a fejek száma (legalább) 95%-os valószínűséggel beleesik (így nem hisszük azt, hogy az érme nem szabályos) és (legfeljebb) 5%-os valószínűséggel nem esik bele (azaz inkább azt hisszük, hogy az érme nem szabályos).
Fontos megértened,hogy akár így, akár úgy döntünk a pénzérme szabályosságáról a kísérletsorozat eredménye alapján, a döntésünk hibás is lehet.
A szignifikanciaszint jelen esetben a tévedés esélyét is mutatja, azaz, hogy mennyi annak a valószínűsége, hogy a pénzérme szabályosságát a kísérletsorozat (azaz a minta) alapján nem fogadjuk el, pedig a valóságban az érme szabályos.
Vajon egy konkrét pénzérme-dobássorozat után mekkora az az eltérés (a 250-től), amely esetén még szabályosnak véljük az érmét?
Ezt az eltérést mi adhatjuk meg a kísérletsorozat elvégzése előtt. Ha a kísérletsorozat elvégzése után azt tapasztaljuk, hogy az eltérés az előre megadott értéket meghaladja, akkor nem hisszük el, hogy a pénzérme szabályos; ha nem haladja meg, akkor pedig elfogadjuk azt a feltételezést, hogy a pénzérme szabályos.
Az eltérést a szignifikanciaszinttel adjuk meg.
Ha a szignifikanciaszint 5%, akkor ez meghatároz egy 250-re szimmetrikusan elhelyezkedő intervallumot, amelybe a fejek száma (legalább) 95%-os valószínűséggel beleesik (így nem hisszük azt, hogy az érme nem szabályos) és (legfeljebb) 5%-os valószínűséggel nem esik bele (azaz inkább azt hisszük, hogy az érme nem szabályos).
Fontos megértened,hogy akár így, akár úgy döntünk a pénzérme szabályosságáról a kísérletsorozat eredménye alapján, a döntésünk hibás is lehet.
A szignifikanciaszint jelen esetben a tévedés esélyét is mutatja, azaz, hogy mennyi annak a valószínűsége, hogy a pénzérme szabályosságát a kísérletsorozat (azaz a minta) alapján nem fogadjuk el, pedig a valóságban az érme szabályos.
Feladatok
- KÉRDÉS
Ha egy pénzérme szabályos, akkor 500 feldobás esetén a dobott fejek száma milyen eloszlást követ és mik a paraméterei?
VÁLASZ:Binomiális eloszlást követ, n = 500, p =
- KÉRDÉS
A számegyenesen lévő fekete háromszög segítségével határozd meg, mennyi annak a valószínűsége, hogy a fejek száma 240 és 260 közé esik!
VÁLASZ:0,65234 - KÉRDÉS
A számegyenesen lévő fekete háromszög segítségével határozd meg, mennyi annak a valószínűsége, hogy a fejek száma 235 és 265 közé esik!
VÁLASZ:0,83443 - KÉRDÉS A számegyenesen lévő fekete háromszög segítségével határozd meg, mennyi annak a valószínűsége, hogy a fejek száma 230 és 270 közé esik!
VÁLASZ:0,93339 - KÉRDÉS
A számegyenesen lévő fekete háromszöget állítsd be úgy, hogy a valószínűség legalább 0,95 legyen! Milyen értékek közé esik a fejek száma?
VÁLASZ:228 és 272 közé. - KÉRDÉS
A megoldást az alábbi módon is megkaphatod:
a Valószínűség (P) mezőbe írd be, hogy 0.95 és olvasd le, hogy a mintában milyen értékek közé esik a fejek száma 95% valószínűséggel!
VÁLASZ:228 és 272 közé.
MÓDSZERTANI MEGJEGYZÉS
A [228; 272] intervallum az úgynevezett elfogadási tartomány, azaz ha a fejek száma ebbe az intervallumba esik, akkor a dobássorozat eredménye (azaz a minta) alapján nem gondolható, hogy az érme nem szabályos.
Az elfogadási tartomány komplementere az úgynevezett visszautasítási tartomány, azaz ha a dobott fejek száma ebbe a tartományba esik, akkor inkább az hihető, hogy az érme nem szabályos (visszautasítjuk azt a hipotézist, hogy az érme szabályos).
Jelen esetben a visszautasítási tartomány két részből áll, a két részbe egyenlő valószínűséggel esik a fejek száma. - KÉRDÉS
Elhiszed egy érméről, hogy szabályos, ha 500 dobásból 275 fejet kapunk?
VÁLASZ:Ha a dobássorozat után a fejek száma 228 és 272 közé esik, akkor az érméről nem feltételezzük, hogy szabálytalan, ha pedig nem esik ezek közé, akkor 5%-os szignifikanciaszinten szabálytalannak véljük az érmét (visszautasítjuk azt a hipotézist, hogy az érme szabályos).
Utóbbi esetben azt mondjuk, hogy az eredmény szignifikáns.
Vagyis, ha a fejek száma 228-nál kisebb vagy 272-nél nagyobb, akkor már jelentős (szignifikáns) az eltérés a várhatóhoz (a 250-hez) képest. Emiatt nem fogadjuk el azt a feltételezést, hogy az érme szabályos.
Ez azt jelenti, hogy ha az érme szabályos, de a dobássorozat után mi mégis szabálytalannak véljük, akkor a döntésünk hibás ugyan, de ezt a hibát legfeljebb 5%-os valószínűséggel követjük csak el.
MÓDSZERTANI MEGJEGYZÉS
Hipotézisvizsgálat során mindig követhetünk el hibát.
Ebben az esetben kétféleképpen lehet hibás döntést hozni:
Elsőfajú hiba: az érme szabályos, mi mégis szabálytalannak véljük.
Másodfajú hiba: az érme szabálytalan, mi mégis szabályosnak véljük.
A szignifikanciaszint az elsőfajú hiba elkövetésének valószínűségét mutatja.
A gyakorlatban ez 1% és 10% között szokott lenni.Értékét mindig a konkrét problémának megfelelően választják, ugyanis a szignifikanciaszint (és ezzel az elsőfajú hiba valószínűségének) csökkentése a másodfajú hiba elkövetésének valószínűségét növeli. Így azt kell mérlegelni, hogy melyik hibát szeretnénk kisebb valószínűséggel elkövetni.
A szignifikancia MINDIG NEGATÍV tartalmú és a hipotézis elvetését vonja maga után. Ha nem szignifikáns (az eltérés), akkor hihető a feltevésünk (de természetesen nem bizonyított).
Ha valamit „statisztikailag bizonyítani” akarunk, akkor az ellentettjét kell hipotézisként feltenni és megpróbálni szignifikáns mintát találni. Ez a technikája ezeknek a statisztikai teszteknek. - KÉRDÉS
Hogyan módosul a válasz, ha 1% a szignifikanciaszint?
VÁLASZ:221 és 279 közé esik. - KÉRDÉS
Vizsgáld meg, hogy 1000 érme dobás esetén milyen értékek közé eshet a fejek száma, hogy 5%-os szignifikanciaszinten szabályosnak tekintsük!
VÁLASZ:469 és 531 közé esik. - KÉRDÉS
Hogyan módosul a válasz, ha 1% a szignifikanciaszint?
VÁLASZ:459 és 541 közé esik. - KÉRDÉS
A számegyenesen lévő fekete háromszög beállításával vizsgáld meg, hogy más intervallumba milyen valószínűséggel esik a fejek száma!
VÁLASZ:459 és 541 közé esik.