GEOMATECH tananyagok

KERESÉS

Felhasználói leírás

Változtasd meg az egyik beviteli mezőben a számot, és figyeld meg, hogy az A,B,C,A∩B,A∩C,B∩C,A∩B∩C,AυBυC halmazok közül melyiknek változik meg az elemszáma! Vajon miért teljesül mindig a szitaformula?

Tanácsok az interaktív alkalmazás használatához

Az Újra gombbal () elölről kezdhető a találgatás.

Feladatok

1. Kísérletezz! Írj a beviteli mezőkbe olyan számokat, hogy
   1. az A halmaz elemszáma 17 legyen!
   2. az A∩B halmaz elemszáma 32 legyen!
   3. az A∩C halmaz elemszáma 28 legyen!
   4. az A∩B∩C halmaz elemszáma 9 legyen!
   5. az AυBυC halmaz elemszáma 60 legyen!
2. Írj a beviteli mezőkbe olyan számokat, hogy
   1. az A elemszáma 14, a B elemszáma 25, az A∩B elemszáma pedig 8 legyen!
   2. az A elemszáma 12, a B elemszáma 22, az AυB elemszáma pedig 26 legyen!
   3. az A∩B elemszáma 6, az A∩B∩C elemszáma 2, a C elemszáma 5 legyen!
   4. az A elemszáma 12, a B elemszáma 14, a C elemszáma 22, az A∩B elemszáma 5, az A∩C elemszáma 9, az A∩B∩C elemszáma pedig 3!
   5. az AυBυC elemszáma 46, az A∩B elemszáma 9, a B∩C elemszáma 12, a C elemszáma pedig 26! Több megoldást is találtál?
3. Írj a beviteli mezőkbe olyan számokat, hogy
   1. az A elemszáma 10, a B elemszáma 8, az A∩B elemszáma pedig 9 legyen!
   2. az A elemszáma 10, a B elemszáma 8, a C elemszáma 21, az AυBυC elemszáma pedig 15 legyen!
   3. az AυB elemszáma 28, az A∩B elemszáma pedig 30 legyen!
   Hány megoldást találtál? Mi lehet ennek az oka?
4. Az alábbi feladatokat is próbáld meg az ábra kitöltésével és az alatta látható összefüggéssel megoldani!
   1. A 39 fős nyári táborban első este mindenki salátát rendelt vacsorára. Összesen háromfélét ettek: gyümölcssalátát, görög salátát, tonhalsalátát. Mindenki rendelt valamilyet a három közül: görög salátát 17-en, gyümölcssalátát 19-en, tonhalsalátát 13-an. Egy diák rendelt mindháromból. A görög salátát rendelők közül 11-en nem kértek gyümölcssalátát és 9 olyan diák volt, aki sem görög, sem gyümölcssalátát nem evett. A csak gyümölcssaláták rendelők 1-gyel többen voltak, mint a csak tonhalasat rendelők. Hány olyan tanuló volt, aki tonhalas és gyümölcssalátát is rendelt, de görög salátát nem?
      VÁLASZ:

      Töltsük ki a feladat szövege alapján lépésről lépésre az ábrát! (Például a halmazok legyenek rendre: A = görög salátát rendelők, B = gyümölcssalátát rendelők, C = tonhalsalátát rendelők). A kitöltést „belülről kifelé” célszerű elkezdenünk, vagyis első lépésben a metszetet töltjük ki. Miután beírtunk néhány adatot az ábrába, újra átolvassuk az eddig fel nem használt információkat, mert a beírt adatok segítségével újabb tartományokat tudunk kitölteni. A feladat szövege alapján tudjuk a következőket: |A∩B∩C|=1 és |(C\A)\B|=9 Újra átolvasva újabb adatokat kapunk: |(B\A)C|=9+1=10 |A∩B|=17-11=6→|(A∩B)\C|=6-1=5 |(B∩C)\A|=19-10-1-5=3 |(A∩C)\B|=13-9-3-1=0 |(A\B)\C|=17-5-1-0=11 3 olyan gyerek volt, aki tonhalas- és gyümölcssalátát is evett, de görög salátát nem.
   2. Egy felmérésből kiderült, hogy egy iskola tanulói közül 90-en rendszeresen sportolnak, 77-en kedvelik a komolyzenét és 152-en rajonganak az AMFM együttesért. - Lehet-e az iskola tanulóinak száma 350? - Ha az iskola tanulóinak száma 165, akkor legfeljebb hány olyan tanulója van, aki kedveli a komolyzenét, de nem sportol?
      VÁLASZ:

      Lehet az iskola tanulóinak száma 350, hiszen azoknak a száma, akik egyiket sem kedvelik, akármekkora lehet. - A legtöbb ilyen tanuló akkor van, ha a komolyzenét kedvelő sportolók létszámát minimálisra csökkentjük. Mivel 77 + 90 = 167, ezért a két halmaz metszete legalább 2 elemű, azaz legfeljebb 75 komolyzenét kedvelő, de nem sportoló lehet ebben az iskolában.
5. Meg tudod indokolni, hogy miért lesz minden esetben igaz a halmazábra alatt látható összefüggés, az úgynevezett logikai szitaformula?
   VÁLASZ:

   Ahhoz, hogy megkapjuk az A, B és C halmazok uniójának számosságát, össze kell adni a halmazok elemeinek számát. Ekkor azonban kétszer számoltuk az A és B, B és C, A és C halmazok közös elemit, így ezek számát le kell vonni. Így viszont azokat, amelyek mindhárom halmaznak közös elemei, háromszor adtuk hozzá és háromszor le is vontuk, ezért egyszer a végén még hozzá kell adnunk. (Logikai szita)