GEOMATECH tananyagok

KERESÉS

Felhasználói leírás

Van-e kapcsolat a másodfokú egyenlet gyökei és együtthatói között?

Egy adott másodfokú egyenlet gyökeit (amennyiben vannak) jelöljük x₁-gyel és x₂-vel. A gyökök kiszámolása nélkül, az együtthatók segítségével határozd meg az $x_1\cdot x_2$ és az $x_1+x_2$ értékét!

Tanácsok az interaktív alkalmazás használatához

Az a, b, c együtthatókat a csúszkák vagy a beviteli mezők segítségével lehet beállítani.

Feladatok

1. Az $ax^2+bx+c=0, (a\neq 0)$  egyenlet gyökeit grafikus módszerrel, az, $f(x)=ax^2+bx+c$ függvény zérushelyeivel fogjuk vizsgálni.
   Állítsd be a csúszkákat úgy, hogy az $f(x)=x^2+2x+3$  függvényt jelenítse meg $x\in R$ . Van-e kapcsolat az a, b, c együtthatók és a gyökök szorzata, illetve a gyökök összege között?
   INFORMÁCIÓ

   Megoldás: A két gyök:$x_1=-3, x_2=1$.
   A gyökök szorzata: –3 (ami a c együtthatóval egyenlő).
   A gyökök összege: –2 (ami a b együttható –1-szerese).

2. Állítsd be a csúszkákat úgy, hogy a következő függvényeket jelenítse meg . 
   Mi a kapcsolat a gyökök szorzata, összege és az együtthatók között?

   $f(x)=x^2-2x-3$

   $f(x)=x^2-4x-3$

   $f(x)=x^2-2x$

   $f(x)=x^2-4x$

   $f(x)=x^2-4$

   $f(x)=x^2-2$

   INFORMÁCIÓ

   Megoldás: A zérushelyek szorzata minden esetben megegyezik a c együttható értékével, a gyökök összege minden esetben megegyezik a b együttható –1-szeresével.
   
   

3. Állítsd be a csúszkákat úgy, hogy a következő függvényeket jelenítse meg . Mi a kapcsolat a gyökök szorzata, összege és az együtthatók között?

   $f(x)=-x^2-2x+3$

   $f(x)=-x^2-3x-2$

   $f(x)=-x^2-3x$

   $f(x)=-x^2+4$
   

   INFORMÁCIÓ

   Megoldás: A zérushelyek szorzata minden esetben megegyezik a c együttható –1-szeresével, a gyökök összege minden esetben megegyezik a b együttható értékével.

4. Állítsd be a csúszkákat úgy, hogy a következő függvényeket jelenítse meg $(x\in R$ . Mi a kapcsolat a gyökök szorzata, összege és az együtthatók között?

   $f(x)=2x^2-3x-2$

   $f(x)=2x^2-4x$

   $f(x)=2x^2-4$

   INFORMÁCIÓ

   Megoldás: A zérushelyek szorzata minden esetben megegyezik a c együttható-értékének felével, a gyökök összege minden esetben megegyezik b az együttható értékének $\frac{1}{2}$- szeresével.)

5. Állítsd be a csúszkákat úgy, hogy a következő függvényeket jelenítse meg  $(x\in R$. Mi a kapcsolat a gyökök szorzata, összege és az együtthatók között?

   $f(x)=-2x^2-4x+6$

   $f(x)=-2x^2-6x$

   $f(x)=-2x^2-+5$

   INFORMÁCIÓ

   Megoldás: A zérushelyek szorzata minden esetben megegyezik a c együttható értékének $\frac{1}{2}$- szeresével, a gyökök összege minden esetben megegyezik a b együttható értékének felével.
6. Milyen előjelűek lehetnek az egyenlet gyökei, ha tudjuk, hogy a két gyök szorzata negatív?
   INFORMÁCIÓ

   Megoldás: Az egyik gyök negatív, a másik gyök pozitív.
7. El lehet-e dönteni a két gyök előjelét, ha tudjuk, hogy a két gyök szorzata és összege is pozitív szám?
   INFORMÁCIÓ

   Megoldás: Igen. Mindkét gyök pozitív.
8. Mit jelent a gyökök előjelére nézve az, hogy a két gyök szorzata pozitív, a két gyök összege viszont negatív?
   INFORMÁCIÓ

   Megoldás: Mindkét gyök negatív.
9. Meg lehet-e állapítani a gyökök előjelét az együtthatókból?
   INFORMÁCIÓ

   Megoldás: Igen. Az előző állítások és a Viète-formulák segítségével (ha létezik a két gyök).

10. Írd be az alábbi táblázatba a gyökök előjelét (feltételezzük, hogy létezik két gyök, és az  )!

    a	b	c	x1	x2
    +	+	+
    +	-	+
    -	+	+
    -	+	-

    INFORMÁCIÓ

    Megoldás:

    a	b	c	x1	x2
    +	+	+	-	-
    +	-	+	+	+
    -	+	+	-	+
    -	+	-	+	+