GEOMATECH tananyagok

KERESÉS

Felhasználói leírás

Egy templom építésénél 10 méternyi acélt szánnak egy templomablak keretének kialakításához. Az „egybefüggő” ablaküveg egy téglalapot és annak egyik oldalára „felülről” illeszkedő félkört tölt ki. Ezt a formát kell keretbe foglalni. Hogyan építsék meg a keretet, hogy az ablakon a lehető legtöbb fény jusson be?
(Minél nagyobb a síkidom területe, annál több fény jut át az ablakon.) 

HASONLÓ FELADATOK

Egy székelykapunak két nyílása van: nagykapu és kiskapu. A kiskapun járnak a gyalogosok, a nagykapun járnak a szénásszekerek. Mindkét nyílás alakja egy „felül nyitott” téglalap és egy arra „felülről” illeszkedő félkör (az átmérője nélkül).

Van 15 méternyi faanyagunk, amiből el kell készítenünk egy székelykapu nagykapu részének keretét. Összesen legfeljebb hány négyzetméter lehet a kész kapu kapuszárnyainak területe? (Mennyi festék kell a lefestésükhöz, ha 1 liter festék elegendő 10 m²-nyi felület lefestésére? Hány m³-nyi faanyag kell a kapuszárnyakhoz, ha a kapuk vastagsága 2,5 cm?)

Tanácsok az interaktív alkalmazás használatához

Az interaktív alkalmazás két részből áll: a bal oldali rajzlapból a vázlattal, valamint a síkidom területét megadó függvény képéből.
Jelölések:

• • e: a hosszúság egysége,
  • te: a területegység;

A rajzlapon látható:

• • a síkidom a oldalát meghatározó csúszka (ez egyben a félkör átmérője is)
  • a síkidom K kerületét meghatározó csúszka;
  • az Újra gomb (): letörli a grafikont és a kiinduló pozíciókba állítja a csúszkákat: a=5e és K=15e;
  • a  gomb: a síkidom oldalát animálja;
  • a  gomb: az animációt megállítja;
  • egy színes síkidom, mely egy téglalapból és egy félkörből tevődik össze:
    kerülete K, az egyik oldala a; Leolvasható a síkidomban lévő téglalap oldalainak hossza és a síkidom területének nagysága is.
    (A téglalap egyik oldala és a félkör átmérője nem számít bele a kerületbe.)

A grafikon: a síkidom területét megadó függvény képe nyomvonallal ábrázolva az oldalhossz függvényében. A nyomvonal tetszőlegesen ki- és bekapcsolható.
A koordinátatengelyek automatikusan igazodnak a beállított K kerület nagyságához.
Az interaktív alkalmazás használatának menete: 
Először a csúszkán a síkidom kerületének beállítása, majd az oldalt meghatározó csúszka mozgatása. Megfigyelhető, hogyan változik a síkidom alakja, miközben a kerülete állandóan K marad, a grafikonon pedig a síkidom területének változása követhető nyomon.

Feladatok

1. A téglalap „vízszintes” oldalának hossza a, „függőleges” oldalának hossza b.
   Mekkora a síkidomot határoló félkör sugara? Mekkora a körív hossza? Mekkora a félkör területe? (Mindegyiket az a oldallal kifejezve add meg!)
   INFORMÁCIÓ

   Megoldás: $r=\frac{a}{2}$; $K=\frac{a\pi }{2}$; $T=\frac{a^2\pi}{8}$.
   
   
2. Milyen részekből tevődik össze a síkidom kerülete? 
   INFORMÁCIÓ

   Megoldás: $K=a+2b+\frac{a\pi }{2}$
   
   
3. Mekkora lehet a síkidomban lévő téglalap oldalainak hossza?
   INFORMÁCIÓ

   Megoldás: $0\lt a\lt \frac{2K}{\pi+2}$; $0\lt b\lt \frac{K}{2}$ Figyeljünk arra, hogy az interaktív alkalmazásban az a és a b oldalak nem vesznek fel minden lehetséges elméleti értéket.
   
   
4. Ha ismerjük a síkidomban lévő téglalap egyik oldalának hosszát és a síkidom kerületét K, akkor hogyan határozható meg a síkidomban lévő téglalap másik oldalának hossza?
   INFORMÁCIÓ

   Megoldás: $b=\frac{K-a(1+\frac{\pi}{2} )}{2}$; $b=\frac{K-2b}{1+\frac{\pi}{2} }$
   
   
5. Milyen alakú a T grafikonja?
   INFORMÁCIÓ

   Megoldás: Negatív irányba nyíló parabolaív. Ez persze csak sejtés.
   
   
6. Miért nem szimmetrikus a T függvény képe?
   INFORMÁCIÓ

   Megoldás: Azért mert a terület csak úgy közelíthetne ismét 0-hoz, ha a síkidomban lévő téglalap b oldalának hossza negatív lenne.
   
   
7. Adott a K kerület. Mi a T függvény maximuma és maximumhelye? Hogyan határozható meg a maximum és maximumhely a K kerület segítségével?
   INFORMÁCIÓ

   Megoldás: A maximum helye $a=\frac{2K}{4+\pi´}$, a maximum értéke: $\frac{K^2}{2(4+\pi)}$ .