GEOMATECH tananyagok

KERESÉS

Felhasználói leírás

Van 20 méternyi kerítésünk. Mekkora az a legnagyobb területű téglalap alakú tóparti telek, amelyet be tudunk keríteni? (A kert tóparti oldalát nem kerítjük be.) 

KIEGÉSZÍTÉS:

Az állatkertben a ragadozók kifutójába benyúlóan szeretnének egy téglalap alakú
területet kialakítani a látogatók számára. Mekkora az a legnagyobb területű téglalap, amelyet 16 m kerítéssel el lehet keríteni?

Tanácsok az interaktív alkalmazás használatához

Az interaktív alkalmazás két részből áll: a rajzlapból és a téglalap területét megadó függvény képéből.
Jelölések:

• • H: a kerítés hossza
  • e: a hosszúság egysége,
  • te: a területegység;

Gombok:

• • Újra gomb (): letörli a függvény képét és a kiinduló pozíciókba állítja a csúszkákat: a=1e és H=15e;
  • Lejátszás gomb (): a téglalap a oldalát animálja;
  • Szünet gomb (): az animációt megállítja.

A függvény megjelenítése:
A téglalap területét megadó T függvény képe nyomvonallal ábrázolva az a oldalhossz függvényében. A nyomvonalat egy jelölőnégyzettel lehet ki- és bekapcsolni.

Feladatok

1. Milyen értékeket vehet fel az a és b oldal, ha ismerjük a H-t, vagyis a kerítés hosszát? (Figyeljünk arra, hogy az interaktív alkalmazásban az a és b oldalak nem vesznek fel minden lehetséges elméleti értéket!)
   INFORMÁCIÓ

   Megoldás: $0\lt a\lt H$, $0\lt b\lt \frac{H}{2}$
   
   
2. Ha ismerjük a kerítés hosszát és a téglalap alakú terület egyik oldalát, akkor hogyan határozható meg a másik oldal hossza?
   INFORMÁCIÓ

   Megoldás: $b=\frac{H-a}{2}\cdot a=H-2b$
   
   
3. Ha a téglalap területét az a oldalhosszának függvényében nézzük, akkor milyen alakú ennek a T függvénynek a képe?
   INFORMÁCIÓ

   Megoldás: Negatív irányba nyíló parabola.
   
   
4. Adott a kerítés hossza H. Mi a T függvény maximuma és maximumhelye?
   Hogyan határozható meg a maximum és a maximumhely a kerítés hosszának
   segítségével?
   INFORMÁCIÓ

   Megoldás: Maximumhelye: $a=\frac{H}{2}$ . A maximum: $\frac{H^2}{8}$
   
   
5. A maximális terület esetén hogyan viszonyul egymáshoz a téglalap két oldalának hossza?
   INFORMÁCIÓ

   Megoldás: $a:b=2:1$
   
   
6. Adott hosszúságú kerítések esetén melyik téglalap területe maximális?
   INFORMÁCIÓ

   Megoldás:

   1. MEGOLDÁS:

   A feladat szövege szerint a kerítés hossza $H=a+2b$ adott.
   Ebből $b=\frac {H-a}{2}$.
   Keressük a $T_a=a\cdot \frac  {H-a}{2}$, $0\lt a\lt H$  függvény maximumát.

   $T_a=\frac {-a^2+a\cdot H}{2} = -\frac{-a^2-a\cdot H}{2} = -\frac{(a-\frac{H^2}{2})^2-(\frac{H}{2})^2}{2}$.

   $T_a=\frac{-(a-\frac{H^2}{2})^2+(\frac{H}{2})^2}{2}$.
   
   A T függvény akkor veszi fel a maximumát, ha az $(a-\frac{H^2}{2})^2$ kifejezés minimális.
   Mivel ez a kifejezés nem negatív, ezért akkor minimális az értéke, ha (a=\frac{H^2}{2}\) (és ez eleme is az értelmezési tartománynak).
   Így a T maximumhelye  $\frac{H}{2}$(ekkor $b=\frac{H}{4}$ ), a maximum értéke: $\frac{H^2}{8}$
   Tehát az $1:2$ oldalarányú téglalap területe a maximális.

   2. MEGOLDÁS:

   A feladat szövege szerint a kerítés hossza $H=a+2b$ adott. Ebből

   Keressük a $T_a=a\cdot \frac{H-a}{2}$, $a\in R$  függvény maximumát. Mivel ez a T függvény másodfokú, ezért a szélsőértéke a zérushelyeinek számtani közepében van. A zérushelyei a 0, illetve a H. Így a T függvény maximuma a $\frac{H}{2}$ helyen van, maximum értéke pedig $\frac{H^2}{8}$. Ez adja az eredeti feladatunk megoldását is.

   3. MEGOLDÁS:

   Ebben a megközelítésben az eddigi a oldal helyett a b oldal függvényében vizsgáljuk a téglalap területét. Jel.:$T_2$ .
   A feladat szöveg szerint a kerítés hossza,  $H=a+2b$ adott. Ebből $a=H-2b$.
   Keressük tehát a $T_2(b)=(H-2b)\cdot b$, $b\in R$  függvény maximumát.
   Mivel ez a függvény másodfokú, ezért a szélsőértéke a zérushelyeinek számtani közepében van.
   A zérushelyek a 0, illetve a $\frac{H}{2}$, így a függvény maximumhelye a  $\frac{H}{4}$, a maximum értéke pedig a $\frac{H^2}{8}$ . Ez adja az eredeti feladat megoldását is.