GEOMATECH tananyagok

KERESÉS

Felhasználói leírás

A rajzlapon az egységnyi oldalú ABC szabályos háromszöget látod. A beleírt új háromszög csúcsait úgy kaptuk, hogy megjelöltük az AB szakaszon az A-tól számított  arányú, a BC szakaszon a B-től számított  arányú, a AC szakaszon a C-től számított  arányú osztópontot ( és  pozitív egészek, értékük választható bizonyos határok között).
Mit tudsz mondani az új háromszögről, illetve oldalainak hosszáról?
Hányad része az új háromszög kerülete, illetve területe a kiinduló háromszögének? Gondolkodásod segítheted a forgatás gombra kattintva!
Mi változna, és mi nem változna, ha a kiinduló háromszög nem egység oldalú lenne?

Feladatok

1. Mekkora a kiinduló háromszög kerülete?
   INFORMÁCIÓ

   Megoldás: K=3
2. Mekkora a kiinduló háromszög területe?
   INFORMÁCIÓ

   Megoldás: $T=\frac{\sqrt{3}}{4}$
   
   
3. Milyen kapcsolat van a „levágott” háromszögek között? Mekkorák a levágott háromszög oldalai?
   INFORMÁCIÓ

   Megoldás: A „levágott” háromszögek egybevágók, mert megegyezik 2-2 oldaluk és ezek közbezárt szöge. A beírt háromszög oldala a „levágott” háromszögek azonos hosszúságú oldala. Azaz a beírt háromszög is szabályos háromszög. Oldala (például a koszinusztétellel számolva) az eredeti háromszög oldalának $\frac{\sqrt{(p^2+qˇ^2-pq)} }{p+q}$-szorosa.
   
   
4. Hogyan aránylik a második (vagyis a beírt) háromszög kerülete és területe az eredetiéhez?
   INFORMÁCIÓ

   Megoldás: A szabályos háromszögek hasonlók, ezért a kerületek aránya szintén $\frac{\sqrt{(p^2+qˇ^2-pq)} }{p+q}$, a területek aránya pedig ennek a négyzete: $\frac{(p^2+qˇ^2-pq)} {p+q}$ .
   
   
   
5. Változna-e az eredeti és a beírt háromszög közötti kapcsolat, ha a kiinduló háromszög oldala nem egységnyi lenne?
   INFORMÁCIÓ

   Megoldás: Ha a kiinduló háromszög oldalhosszúsága a, akkor a kerület  $a$-szorosára, a terület $a^2$-szeresére változna.