10. évfolyam: Nehezebb egyenletek, egyenlőtlenségek 2.

10. évfolyam

Nehezebb egyenletek, egyenlőtlenségek 2.

KERESÉS

Információ ehhez a munkalaphoz

Módszertani célkitűzés

Nemzetközi diákolimpiai feladatok vizsgálata, megoldása grafikus módszerekkel.

Az alkalmazás nehézségi szintje, tanárként

Könnyű, nem igényel külön készülést.

Módszertani megjegyzés, tanári szerep

A tananyagegység célja, hogy megmutassa, milyen módon lehet grafikusan egyenleteket megoldani elsősorban analitikusan nehezen vagy egyáltalán nem megoldható egyenletek esetében.
Fontos, hogy rájöjjenek a grafikus megoldási módszer előnyeire, hátrányaira és korlátaira egyaránt.

További ajánlott tanegységek:

Nehezebb egyenletek, egyenlőtlenségek 3.;

Nehezebb egyenletek, egyenlőtlenségek 4.;

Nehezebb egyenletek, egyenlőtlenségek 5.
Az értékek közelítő értékek, melyek két tizedes jegyre kerekítve olvashatók le az ábráról.
Emelt szinten vagy fakultáción kísérletezhetnek az eredeti egyenlet módosításával például:
a) A p paraméter változtatásával (azaz az interaktív alkalmazásban a piros egyenes transzformálásával) megnézni, hogy mikor mennyi és milyen megoldás lehet: $\frac{4x^2}{(1-\sqrt{1+2x} )^2}\lt 2x+p$ .
b) A jobb oldalra egy másodfokú polinom is írható: $\frac{4x^2}{(1-\sqrt{1+2x} )^2}\lt x^2+2x$ .

Felhasználói leírás

Vannak egyenletek, amelyek analitikusan nehezen vagy egyáltalán nem oldhatóak meg, ezekben az esetekben a grafikus megoldás segíthet.
Az 1960-as Matematikai Diákolimpia 2-es feladatának megoldása grafikus módszerekkel.
Az x változó mely valós értékeire teljesül a következő egyenlőtlenség: $\frac{4x^2}{(1-\sqrt{1+2x} )^2}\lt 2x+9$ ?

Feladatok

Az ábrán az $f(x)=\frac{4x^2}{(1-\sqrt{1+2x} )^2}$ és a $g(x)=2x+9$ grafikonja látható. Jellemezd mindkettőt!
INFORMÁCIÓ
Megoldás: Jellemezzék a függvényeket saját szavaikkal. f értelmezési tartománya: $x \in [-\frac{1}{2}; +\infty[ \ {0}$ .
A nevező nem lehet nulla, valamint valós számhalmazon négyzetgyök alatt negatív kifejezés nem szerepelhet, azaz minden gyök alatt szereplő kifejezésnek nemnegatívnak kell lennie – értelmezési tartomány vizsgálat. g értelmezési tartománya: x ∈ R; értékkészlete: y ∈R.
Olvasd le a gyököket! A jobb láthatóság kedvéért nagyíthatod, elmozgathatod az ábrát, valamint használhatod az x tengelyen a futópontot.
INFORMÁCIÓ
Megoldás: x=5,62, azaz a két grafikon metszéspontjának első koordinátája, mely a mozgatható pont segítségével leolvasható.
Aktiváld a h(x) jelölőnégyzetet, ekkor megjelenik a h (ami a két függvény különbsége) függvény képe. Hol metszi ez az x tengelyt?
INFORMÁCIÓ
Megoldás: Fontos, hogy felismerjék, hogy h zérushelyei megegyeznek az első feladatban szereplő egyenlet gyökeivel. Zérushelye 5,62; mely a mozgatható pont segítségével leolvasható. Az egyenlőtlenség megoldása: $-0,5 \leq x \lt 5,62$ .