10. évfolyam
Másodfokú görbe érintője
Információ ehhez a munkalaphoz
Szükséges előismeret
Középszinten: másodfokú függvény, zérushely (lineáris függvény).
Emelt szinten: derivált és érintő kapcsolata.
Módszertani célkitűzés
Középszinten: egy alapfüggvény megszokott tulajdonságain túli megfigyelése.
Emelt szinten: a pontbeli derivált és az érintő kapcsolatát felhasználva igazoljuk az érintő és az x tengely (abszcisszatengely) metszéspontjára vonatkozó megfigyelésünket.
Az alkalmazás nehézségi szintje, tanárként
Könnyű, nem igényel külön készülést.
Felhasználói leírás
Figyeld meg az M pont (görbe A pontbeli érintőjének és a vízszintes tengelynek a
metszéspontja) helyének változását, ha az A pontot a másodfokú függvény grafikonján mozgatod! Tudsz-e olyan számítási módot mondani, mellyel A ismeretében meg tudod határozni M-et?
Tanácsok az interaktív alkalmazás használatához
Az A pont mozgatható a grafikonon. A program kirajzolja a görbe érintőjét az A pontban, és megjeleníti az érintőegyenes M metszéspontját az x tengelyen.
Feladatok
- Lehet-e az érintő vízszintes? Ha igen, akkor a görbe mely pontjában? Ha nem, akkor indokold miért nem.
INFORMÁCIÓMegoldás: Igen, ha A(0; 0).
- Van-e két merőleges az érintők között?
INFORMÁCIÓMegoldás: Ez a parabola szimmetrikus az y tengely egyenesére, ezért ha azzal az érintő 45°‑os szöget zár be, akkor ez a két érintő merőleges lesz.
- Van-e két párhuzamos az érintők között?
INFORMÁCIÓMegoldás: Emelt szinten: A érintők meredekségét a pontbeli derivált segítségével is megkaphatjuk. (Ennek segítségével vizsgálhatjuk a merőlegesség feltételét is).
Érdekesség: az egymásra merőleges érintők páronként vett metszéspontja rajta van a parabola vezéregyenesén; és megfordítva is igaz: a vezéregyenes bármely pontján át két érintő húzható a parabolához és ezek egymásra merőlegesek.