10. évfolyam: Egyenlőtlenségek ekvivalens és nem ekvivalens átalakításai 3.

10. évfolyam

Egyenlőtlenségek ekvivalens és nem ekvivalens átalakításai 3.

KERESÉS

Információ ehhez a munkalaphoz

Szükséges előismeret

Egyenlőtlenségek grafikus megoldása.

Módszertani célkitűzés

A $2x\gt x^{2}$ egyenlőtlenségen végrehajtott különböző átalakításokat vizsgáljuk: a kapott „új egyenlőtlenségeknek” más lesz-e a megoldáshalmaza, mint az eredetié?
A tananyagegység igényli a részletes megbeszélést. A tananyag alkalmas frontális, egyéni és páros munkaformához is. A diákok otthon is használhatják elméleti tudásuk elmélyítéséhez. Hagyjuk, hogy a tanulók önállóan fedezzék fel a paraméterek változtatásával járó következményeket. A tanegység áttekintő és összefoglaló résznél (ismétlésnél, emelt szinten elméleti áttekintésnél) nagy segítséget nyújthat. Példaként egy konkrét, tanórai egyenlőtlenség megoldásánál is bemutatható, ahol olyan átalakítás történik, amelyik nem ekvivalens egyenlőtlenséghez vezet.

Az alkalmazás nehézségi szintje, tanárként

Könnyű, nem igényel külön készülést.

Módszertani megjegyzés, tanári szerep

Az eredeti $2x\gt x^{2}$ egyenlőtlenség két oldalának grafikonja (tehát az $y=2x$ egyenletű egyenes és az $y=x^{2}$ egyenletű parabola) végig látható világoszöld és világoskék színnel. Szintén látható a megoldáshalmaz: $0\lt x\lt 2$ , az x tengelyen narancssárga színnel bejelölve. Ha változtatjuk az egyenlőtlenséget,akkor a két oldalnak megfelelő görbe színe jelzi, mi mihez tartozik. A világoszöldnek a sötétzöld a párja, s hasonlóan a világoskéknek a sötétkék. Az „új egyenlőtlenség” megoldáshalmaza rózsaszínű az x tengelyen.

Felhasználói leírás

Figyeld meg, mi történik a $2x\gt x^{2}$ egyenlőtlenséggel, ha különböző műveleteket hajtunk végre! Hogyan alakul a különböző lépésekkel kapott új egyenlőtlenségek megoldáshalmaza az eredeti egyenlőtlenség megoldáshalmazához képest?
A megoldáshalmazt a valós számok halmazán keressük.

Tanácsok az interaktív alkalmazás használatához

A panelon felsorolt lehetőségek közül lehet választani. Egyszerre mindig csak egyet.
A „Hozzáad” és a „Szoroz” lehetőségek kiválasztásakor egy-egy csúszkával beállítható a hozzáadni kívánt szám, illetve a szorzótényező – mindkét esetben a [–5; 5] intervallumból választhatunk.
Ha az ábra zsúfolttá válik, akkor eltávolítható egymástól a két megoldáshalmazt jelző intervallum. A Mozgat funkcióval () a rózsaszínű végpontra kattintva az intervallumok függőleges irányban elmozgathatók. Az Alapállapot feliratú gombra kattintva az intervallumokat vissza lehet állítani a kiinduló helyzetbe.

Feladatok

Add hozzá az egyenlőtlenség mindkét oldalához ugyanazt a számot! A „Hozzáad” lehetőséget kiválasztva figyeld meg, hogy a kapott új egyenlőtlenségnek más lesz-e a megoldáshalmaza, mint az eredetié!
INFORMÁCIÓ
Megoldás: A megoldáshalmaz ugyanaz lesz (ekvivalens átalakítás).
Szorozd meg mindkét oldalt ugyanazzal a tetszőleges számmal!
A „Szoroz” lehetőséget kiválasztva figyeld meg, hogy a kapott új egyenlőtlenségnek más lesz-e a megoldáshalmaza, mint az eredetié! Mi történik, ha 0 a szorzótényező?
INFORMÁCIÓ
Megoldás: A tényező előjelétől függ a megoldáshalmaz. Ha a tényező pozitív szám, akkor a megoldáshalmaz ugyanaz lesz. Külön emeljük ki a 0-val történő szorzás hatását. Ha a tényező negatív szám, akkor a megoldáshalmaz más lesz.
Emeld négyzetre mindkét oldalt! A „Négyzetre emel” lehetőséget kiválasztva figyeld meg, hogy a kapott új egyenlőtlenségnek más lesz-e a megoldáshalmaza, mint az eredetié!
INFORMÁCIÓ
Megoldás: Az „új egyenlőtlenség”megoldáshalmaza más lesz: $-2\lt x\lt 2, x\neq 0$
Mi történik, ha veszed az egyenlőtlenség mindkét oldalának reciprokát? A „Reciprok” lehetőséget kiválasztva figyeld meg, hogy a kapott új egyenlőtlenségnek más lesz-e a megoldáshalmaza, mint az eredetié!
INFORMÁCIÓ
Megoldás: Az „új egyenlőtlenség” megoldáshalmaza más lesz: 2 < x.
Emeld köbre mindkét oldalt! A „Köbre emel” lehetőséget kiválasztva figyeld meg, hogy a kapott új egyenlőtlenségnek más lesz-e a megoldáshalmaza, mint az eredetié!
INFORMÁCIÓ
Megoldás: A megoldáshalmaz ugyanaz lesz.
Végezz gyökvonást mindkét oldalon!A „Gyököt von” lehetőséget kiválasztva figyeld meg, hogy a kapott új egyenlőtlenségnek más lesz-e a megoldáshalmaza, mint az eredetié!
INFORMÁCIÓ
Megoldás: A gyökvonással kapott új egyenlőtlenség megoldáshalmaza ugyanaz lesz.
Szorozd meg mindkét oldalt x-szel! A „Szoroz x-szel” lehetőséget kiválasztva figyeld meg, hogy a kapott új egyenlőtlenségnek más lesz-e a megoldáshalmaza, mint az eredetié?
INFORMÁCIÓ
Megoldás: Az „új egyenlőtlenség”megoldáshalmaza más lesz: $x\lt 2$ , de $x\neq 0$
Szorozd meg mindkét oldalt $(x-2)$ -vel! Az „( $(x-2)$ -vel szoroz” lehetőséget kiválasztva figyeld meg, hogy a kapott új egyenlőtlenségnek más lesz-e a megoldáshalmaza, mint az eredetié!
INFORMÁCIÓ
Megoldás: Az „új egyenlőtlenség” megoldáshalmaza más lesz: x <0.
Oszd el mindkét oldalt x-szel! A „x-szel oszt” lehetőséget kiválasztva figyeld meg, hogy a kapott új egyenlőtlenségnek más lesz-e a megoldáshalmaza, mint az eredetié!
INFORMÁCIÓ
Megoldás: Az „új egyenlőtlenség” megoldáshalmaza más lesz: $x\lt 2$ , de $x\neq 0$ .