GEOMATECH tananyagok

KERESÉS

Felhasználói leírás

Bármely valós a és b számról el tudjuk dönteni, hogy milyen relációban állnak egymással.
Három eset lehetséges: a > b, vagy a = b, vagy a < b.
Ha kifejezéseket kapcsolunk össze $\gt , \lt ,\geq, \leq$ jelekkel, egyenlőtlenségeket kapunk.
A négyzetgyökös egyenlőtlenségek megoldásában lényeges szerepet játszhat a grafikus ábrázolás. A grafikonok megrajzolása sokat segíthet a keresett megoldáshalmaz megkeresésében.

Mely számok behelyettesítése esetén lesz a $\frac{2}{x-3}$ és az $\ x-1$  helyettesítési értéke egyenlő? Mely számok esetén lesz a $\frac{2}{x-3}$ értéke nagyobb, mint az  $\ x-1$ ?

Feladatok

1. Állapítsd meg, hogy mi jelenik meg az ábrán!
   INFORMÁCIÓ

   Megoldás: Hagyjuk, hogy a diákok maguk fedezzék fel, hogy mit látnak a képernyőn! Fontos, hogy a Behelyettesítés és a Relációjel melletti négyzet kipipálásával kapott adatokat összekössék az ábrán megjelenő információkkal.
2. A futópont mozgatásával állítsd be az x = 6 értéket!
   Ebben az esetben a $\frac{2}{x-3}$ vagy az  $\ x-1$  kifejezés vesz fel nagyobb értéket?
   INFORMÁCIÓ

   Megoldás: A „Relációjel” kipipálásával ellenőrizzük le közösen az eredményt, és a diákok fogalmazzák meg, hogyan kapták azt meg!
3. A futópont mozgatásával keresd meg azt az x értéket, amelyre a két kifejezés ugyanazt az értéket veszi fel!
   INFORMÁCIÓ

   Megoldás: $x_{1}=1; x_{2}=4$

4. a) Adj meg három különböző, negatív egész számot, melyre $\frac{2}{x-3} +1\gt  x-1$ !
   b) Az [1; 4] intervallumon belül adj meg három számot, melyekre $\frac{2}{x-3} +1\gt  x-1$ !
   c) x = 3 esetén melyik kifejezés vesz fel nagyobb értéket? 

   A grafikonról leolvasott értékeket behelyettesítéssel ellenőrizd!
   INFORMÁCIÓ

   Megoldás:
   a) Nincs ilyen szám.
   b) $x\in ]3;4[$
   c) $\frac{2}{x-3}$ nincs értelmezve, ha x = 3.
   Az ellenőrzéshez használjuk a „Behelyettesítés” kipipálását!
5. Oldd meg a $\frac{2}{x-3} +1\gt  x-1$  egyenlőtlenséget algebrai úton is!
   Ellenőrizd megoldásodat a grafikon segítségével!
   A megoldáshalmaz hogyan változik, ha a relációjelet megfordítod vagy egyenlőségjelre cseréled?
   INFORMÁCIÓ

   Megoldás:
   $\frac{2}{x-3} +1\gt  x-1$
    
   $\frac{2}{x-3} +2-x\gt 0$
    
   $\frac{-x^{2}+5x-4 }{x-3} \gt  0$
   
   

   Egy tört értéke pontosan akkor pozitív, ha a számlálója és a nevezője azonos előjelű.

   a) $-x^{2}+5-4\gt  0$ és $x-3\gt  0; x\in ]3;4[$

   b)  $-x^{2}+5-4\gt  0$ és  $x-3\gt  0; x\in ]-\infty 3;1[$

   Megoldáshalmaz: $]-\infty ;[\cup ]3; 4[$

   •  $\frac{2}{x-3}+1=x-1$
   • $\frac{-x^{2}+5x-4 }{x-3} =0$

   Egy tört értéke akkor 0, ha a számlálója 0 (és a nevezője nem 0).
   $-x^{2}+5x-4$

   Megoldás: $x_{1}=4;x_{2}=1$

   •  $\frac{2}{x-3}+1<x-1$
   • $\frac{-x^{2}+5x-4 }{x-3} <0$

   Egy tört értéke pontosa akkor negatív, ha a számlálója és a nevezője különböző előjelű.

   c) $-x^{2}+5-4\gt  0$ és $x-3< 0; x\in ]1;3[$

   d) $-x^{2}+5-4\gt  0$ és  $x-3>  0; x\in ]4;+\infty[$

   Megoldáshalmaz: $]1; 3[\cup ]4; +\infty$