GEOMATECH tananyagok

KERESÉS

Felhasználói leírás

Bármely valós a és b számról el tudjuk dönteni, hogy milyen relációban állnak egymással.
Három eset lehetséges: a > b, vagy a = b, vagy a < b.
Ha kifejezéseket kapcsolunk össze $\gt , \lt ,\geq, \leq$ jelekkel, egyenlőtlenségeket kapunk.
A négyzetgyökös egyenlőtlenségek megoldásában lényeges szerepet játszhat a grafikus ábrázolás. A grafikonok megrajzolása sokat segíthet a keresett megoldáshalmaz megkeresésében.

Tanácsok az interaktív alkalmazás használatához

Az alkalmazás tizedesvessző helyett a pontot fogadja el.

Feladatok

1. Állapítsd meg, hogy mi jelenik meg az ábrán!
   INFORMÁCIÓ

   Megoldás: Hagyjuk, hogy a diákok maguk fedezzék fel, hogy mit látnak a képernyőn! Fontos, hogy a Behelyettesítés és a Relációjel melletti négyzet kipipálásával kapott adatokat összekössék az ábrán megjelenő információkkal.
2. A futópont mozgatásával állítsd be az x = 6 értéket!
   Ebben az esetben a $2\sqrt{x}$ vagy az $\frac{1}{2}x+\frac{3}{2}$ kifejezés vesz fel nagyobb értéket?!
   INFORMÁCIÓ

   Megoldás: A „Relációjel” kipipálásával ellenőrizzük le közösen az eredményt, és a diákok fogalmazzák meg, hogyan kapták azt meg!
3. A futópont mozgatásával keresd meg azt az x értéket, amelyre a két kifejezés ugyanazt az értéket veszi fel!
   INFORMÁCIÓ

   Megoldás: $x_{1}=9; x_{2}=1$

4. a) Adj meg három különböző, nem negatív egész számot, melyre $2\sqrt{x}\lt \frac{1}{2}x+\frac{3}{2}$ !
   b) Sorold fel azokat a pozitív egész számokat, melyekre $2\sqrt{x}\lt \frac{1}{2}x+\frac{3}{2}$ !
   c) Adj meg olyan negatív számokat, melyre $2\sqrt{x}\lt \frac{1}{2}x+\frac{3}{2}$ !

   A grafikonról leolvasott értékeket behelyettesítéssel ellenőrizd!
   INFORMÁCIÓ

   Megoldás:a) Bármely egész szám megfelel, amely eleme a $[0;1[\cup ]9;+\infty ]$ halmaznak (a 0 és bármely 9-nél nagyobb egész szám).
   b) 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8.
   c) Nincs ilyen szám.
   Az ellenőrzéshez használjuk a „Behelyettesítés” kipipálását!
5. Oldd meg a $2\sqrt{x}>\frac{1}{2}x+\frac{3}{2}$ egyenlőtlenséget algebrai úton is!
   Ellenőrizd megoldásodat a grafikon segítségével!
   A megoldáshalmaz hogyan változik, ha a relációjelet megfordítod vagy egyenlőségjelre cseréled?
   INFORMÁCIÓ

   Megoldás:

   Az ellenőrzést az interaktív alkalmazással végezzük.
   Egy lehetséges megoldás: Az egyenlőtlenség értelmezési tartománya a nem negatív valós számok halmaza.
   a) Rendezzük a $2\sqrt{x}>\frac{1}{2}x+\frac{3}{2}$ egyenletet. $4\sqrt{x}\gt  x+3$
   A négyzetre emelés most ekvivalens átalakítás, hiszen $x\geq 0$ miatt mindkét oldalon nem negatív szám áll, ezért emeljük mindkét oldalt négyzetre:

   $16x\gt  x^{2}+6x+9$ <brrr/> $0\gt  x^{2} -10x+9$

   Az $x^{2} -10x+9=0$ egyenlet gyökeinek meghatározása után (például a másodfokú kifejezés szorzattá alakításával) kapjuk a megoldáshalmazt.
   b) Egyenlőség esetén a gyökök: $x_{1}=9; x_{2}=1$

   c) A $2\sqrt{x}   \gt  \frac{1}{2}x+\frac{3}{2}$ egyenlőtlenség megoldáshalmaza: $[0;1[\cup ]9;+\infty ]$.