10. évfolyam: Egyenlőtlenségek

10. évfolyam

Egyenlőtlenségek - másodfokú 1.

Információ ehhez a munkalaphoz

Módszertani célkitűzés

Ennek a tanegységnek az a célja, hogy a diákok a grafikus ábrázolás segítségével, kísérletezéssel oldjanak meg egy másodfokú egyenlőtlenséget.

Az alkalmazás nehézségi szintje, tanárként

Könnyű, nem igényel külön készülést.

Módszertani megjegyzés, tanári szerep

A tanegység használatát úgy kezdjük, hogy a „Relációjel” nincs kipipálva. Fontos, hogy először a diákok maguk állapítsák meg a két kifejezés közötti relációt az egyes x értékek esetén.

Felhasználói leírás

Bármely valós a és b számról el tudjuk dönteni, hogy milyen relációban állnak egymással.
Három eset lehetséges: a > b, vagy a = b, vagy a < b.
Ha kifejezéseket kapcsolunk össze $\gt ,\lt ,\geq ,\leq$ jelekkel, egyenlőtlenségeket kapunk.
A másodfokú egyenlőtlenségek megoldásában lényeges szerepet játszhat a grafikus ábrázolás. A grafikonok megrajzolása sokat segíthet a keresett megoldáshalmaz megkeresésében.

Mely számok behelyettesítése esetén lesz az $x^{2}+3x+1$ helyettesítési értéke egyenlő a $-x-3$ helyettesítési értékével?
Mely számok esetén lesz $x^{2}+3x+1$ értéke nagyobb, mint a $-x-3$ értéke?

Feladatok

A futópont mozgatásával állítsd be az x=2 értéket!
Ebben az esetben az $x^{2}+3x+1$ vagy a $-x-3$ kifejezés vesz fel nagyobb értéket?
INFORMÁCIÓ
Megoldás: A „Relációjel” kipipálásával ellenőrizzük le közösen az eredményt, és a diákok fogalmazzák meg, hogyan kapták az eredményt.
Ábrázolás nélkül hogyan lehet megkapni, hogy x=2 esetén melyik kifejezés vesz fel nagyobb értéket?
INFORMÁCIÓ
Megoldás: A helyettesítési érték kiszámításával. Feladat: számítsák ki mindkét oldal behelyettesítési értékét, majd ellenőrizzék a „Behelyettesítés” gomb segítségével!
A futópont mozgatásával keresd meg azt az x értéket, amelyre a két kifejezés ugyanazt az értéket veszi fel!
INFORMÁCIÓ
Megoldás: $x=\frac{2}{3}$
a) Adj meg három különböző, pozitív egész számot, melyekre teljesül a következő egyenlőtlenség! $x^{2}+3x+1>-x-3$

b) Hány olyan negatív számot tudsz megadni, melyekre teljesül a következő egyenlőtlenség? $x^{2}+3x+1>-x-3$ A grafikonról leolvasott értékeket behelyettesítéssel ellenőrizd!
INFORMÁCIÓ
Megoldás: a) Minden pozitív egész szám megfelelő. b) Nincs ilyen szám.
Oldd meg az $x^{2}+3x+1>-x-3$ egyenlőtlenséget algebrai úton is! Ellenőrizd megoldásodat a grafikon segítségével!
INFORMÁCIÓ
Megoldás: Lehetséges megoldás:
x^{2}+3x+1>-x-3
x^{2}+4x+4>0
(x+2)^{2}>0
A megoldáshoz az R\{-2} ekvivalens átalakításokat végezve.