GEOMATECH tananyagok

KERESÉS

Felhasználói leírás

Figyeld meg, mi történik az $x^{2}=2x$  egyenlettel, ha különböző műveleteket hajtunk végre rajta! Hogyan alakul a különböző lépésekkel kapott új egyenletek gyökeinek a száma és értéke az eredeti gyökhöz képest? A gyököket a valós számok halmazában keressük.

Tanácsok az interaktív alkalmazás használatához

A panelon felsorolt lehetőségek közül lehet választani. Egyszerre mindig csak egyet. 
A „Hozzáad” és „Szoroz” lehetőségek kiválasztásakor egy-egy csúszkával beállítható a tag illetve a tényező (mindkettőnél az intervallum: [-5;5]).

Az eredeti  $x^{2}=2x$ egyenlet két oldalának grafikonja (tehát az $y=x^{2}$ egyenletű parabola és az  $y=2x$ egyenletű egyenes) végig látható világoszöld és világoskék színnel. 
Szintén látható, hogy az egyenlet két gyöke: $x_{1}=2$ és $x_{2}=0$ . 
Ha változtatjuk az egyenletet, akkor a két oldalnak megfelelő görbe színe jelzi mi mihez tartozik. A világoszöldnek a sötétzöld a párja, s hasonlóan a világoskéknek a sötétkék.

Feladatok

1. Add hozzá az egyenlet mindkét oldalához ugyanazt a számot! Válaszd ki a „Hozzáad” funkciót! Vajon a kapott új egyenletnek más lesz-e a megoldáshalmaza, mint az eredetié?
   INFORMÁCIÓ

   Megoldás: A megoldáshalmaz ugyanaz lesz (ekvivalens átalakítás).
2. Szorozd meg mindkét oldalt ugyanazzal a tetszőleges számmal! Válaszd ki a „Szoroz” funkciót! Vajon a kapott új egyenletnek más lesz-e a megoldáshalmaza, mint az eredetié? Mi történik, ha 0 a szorzótényező?
   INFORMÁCIÓ

   Megoldás: A megoldáshalmaz ugyanaz lesz, ha a szorzótényező 0-tól különböző szám. Ha az egyenlet mindkét oldalát 0-val szorozzuk, akkor minden valós szám megoldás lesz, így a megoldáshalmaz megváltozik.
3. Emeld négyzetre mindkét oldalt! Válaszd ki a „Négyzetre emel” funkciót! Vajon a kapott új egyenletnek más lesz-e a megoldáshalmaza, mint az eredetié?
   INFORMÁCIÓ

   Megoldás: A négyzetre emeléssel kapott egyenlet megoldáshalmaza más lesz, mint az eredeti egyenleté. Az „új egyenlet” gyökei között az eredeti egyenlet gyöke és egy attól különböző szám is szerepel (–2), amely az eredeti egyenletnek nem gyöke. Ha tehát egy egyenlet megoldása során az egyenlet mindkét oldalát négyzetre emeljük, akkor olyan új egyenlethez jutunk, amelynek a megoldáshalmaza bővebb lehet, mint az eredetié. Ekkor tehát különösen fontos az ellenőrzés, a „hamis gyökök” megtalálása!
4. Mi történik, ha veszed az egyenlet mindkét oldalának reciprokát? Válaszd ki a „Reciprok” funkciót! Vajon a kapott új egyenletnek más lesz-e a megoldáshalmaza, mint az eredetié?
   INFORMÁCIÓ

   Megoldás: Ez a példa megmutatja, hogy egy egyenlet megoldása során mindkét oldal reciprokát véve olyan egyenlethez jutunk, amelynek megoldáshalmaza szűkebb lehet, mint az eredetié: gyökvesztés léphet fel. Emiatt ezt az átalakítást különös körültekintéssel célszerű alkalmazni(a művelet elvégzése előtt fontos a „kikötések” megvizsgálása)!
5. Emeld köbre mindkét oldalt! Válaszd ki a „Köbre emel” funkciót! Vajon a kapott új egyenletnek más lesz-e a megoldáshalmaza, mint az eredetié?
   INFORMÁCIÓ

   Megoldás: A megoldáshalmaz ugyanaz lesz.
6. Végezz négyzetgyökvonást mindkét oldalon! Válaszd ki a „Gyököt von” funkciót! Vajon a kapott új egyenletnek más lesz-e a megoldáshalmaza, mint az eredetié?
   INFORMÁCIÓ

   Megoldás: A megoldáshalmaz ugyanaz lesz. Érdemes felhívni a figyelmet, hogy a négyzetgyöke csak a nemnegatív valós számoknak van. Ez itt szépen látszódik.
7. Szorozd meg mindkét oldalt x-szel! Válaszd ki a „Szoroz x-szel” funkciót! Vajon a kapott új egyenletnek más lesz-e a egoldáshalmaza, mint az eredetié?
   INFORMÁCIÓ

   Megoldás: A megoldáshalmaz ugyanaz lesz.
8. Szorozd meg mindkét oldalt $(x+2)$-vel! Válaszd ki „$(x+2)$-vel szoroz” funkciót! Vajon a kapott új egyenletnek más lesz-e a megoldáshalmaza, mint az eredetié?
   INFORMÁCIÓ

   Megoldás: A szorzással kapott új egyenlet megoldáshalmaza megegyezik az eredeti egyenlet megoldáshalmazával.
9. Oszd el mindkét oldalt x-szel! Válaszd ki a  „x-szel oszt” funkciót! Vajon a kapott új egyenletnek más lesz-e a megoldáshalmaza, mint az eredetié?
   INFORMÁCIÓ

   Megoldás: Az osztással kapott új egyenlet megoldáshalmaza más lesz, mint az eredeti egyenleté. A művelet elvégzése előtt fontos a kikötések megvizsgálása!