GEOMATECH tananyagok

KERESÉS

Felhasználói leírás

A rulettkeréken 37 szám van, 0-tól 36-ig számozva. A 0 zöld színű, a többi szám fele piros, és fele fekete. Egy rulettkereket 1000-szer megforgatnak. Elhiszed-e, hogy szabályosan működik, ha azt mondják neked, hogy 50-szer gurítottak 0-t?
Egy rulettkeréken 1000-szer gurítunk. Vizsgáld, hogy az 1000 gurításból mekkora valószínűséggel mennyi a nullák száma!

Tanácsok az interaktív alkalmazás használatához

Az Alkalmazás kirajzolja a B(1000; $\frac{1}{37}$) paraméterű binomiális eloszlást.
A „Valószínűség” beviteli mezőbe egy kívánt valószínűség értékét lehet bevinni. Ilyenkor az Alkalmazás megmutatja azt a tartományt (a diagramon is és fent a panelen is), amelybe a nullák száma a kívánt valószínűséggel beleesik.
A vízszintes tengelyen lévő fekete háromszöggel beállítható a várható értékre szimmetrikus intervallum határa.
A „Nagyítás” csúszkával közelíthető az ábra, továbbá a Nagyítás alatti csúszkával (a kék háromszöggel) az eloszlás bármely része megjeleníthető.

Feladatok

1. 1. Mennyi a nullás gurítások számának várható értéke?
   2. Mennyi annak a valószínűsége, hogy 1000 gurításból a nullák száma legalább 24, de legfeljebb 30?
   3. Mennyivel tér el a nullák száma a várható értéktől ennél az eseménynél?
   VÁLASZ:

   1. $\frac{1000}{37}$ ≈ 27
   2. 0,50524
      Ha a kerék szabályos, akkor a nullák száma 50,524% valószínűséggel 24 és 30 közé esik. Ezt úgy is mondhatjuk, hogy ha a nullák száma 1000 gurításból 24 és 30 közé esik, akkor 50,524%-os megbízhatósági szinten a kerék szabályos.
   3. Legfeljebb 3-mal. Vagy másképpen: nem tér el 3-nál jobban.
2. 1. Mennyi annak a valószínűsége, hogy 1000 gurításból a nullák száma legalább 21, de legfeljebb 33?
   2. Mennyivel tér el a nullák száma a várható értéktől ennél az eseménynél?
   VÁLASZ:

   1. 0,79638
      Ha a kerék szabályos, akkor a nullák száma 79,638% valószínűséggel 21 és 33 közé esik. Ezt úgy is mondhatjuk, hogy ha a nullák száma 1000 gurításból 21 és 33 közé esik, akkor 79,638%-os megbízhatósági szinten a kerék szabályos.
   2. Legfeljebb 6-tal. Vagy másképpen: nem tér el 6-nál jobban.
3. 1. 90%-os megbízhatósági szinten milyen értékek közé esik a nullák száma 1000 gurításból?
   2. Mennyi a várható értéktől való eltérés?
   VÁLASZ:

   1. Legalább 19, de legfeljebb 35.
   2. Legfeljebb 8. Vagy: nem tér el jobban 8-nál.
4. Mennyi annak a valószínűsége, hogy 1000 gurításból a nullák száma a várható értéktől több mint 8-cal tér el?
   VÁLASZ:

   Az előző kérdés alapján 1-0,90405 = 0,09595.
5. 1. 95%-os megbízhatósági szinten milyen értékek közé esik a nullák száma 1000 gurításból?
   2. Mennyi a várható értéktől való eltérés?
   VÁLASZ:

   1. Legalább 17, de legfeljebb 37.
   2. Legfeljebb 10. Vagy: nem tér el jobban 10-nél.
6. 1. 99%-os megbízhatósági szinten milyen értékek közé esik a nullák száma 1000 gurításból?
   2. Mennyi a várható értéktől való eltérés?
   VÁLASZ:

   1. Legalább 14, de legfeljebb 40.
   2. Legfeljebb 13. Vagy: nem tér el jobban 13-nál.
7. Mennyi annak a valószínűsége, hogy 1000 gurításból a nullák száma a várható értéktől nem tér el jobban, mint 22?
   
   VÁLASZ:

   0,99996 (Kevesebb mint 1%.)
8. Elhiszed-e egy rulettkerékről, hogy szabályos, ha 1000 gurításból 50-szer nullát kaptak?
   
   VÁLASZ:

   Bár elvileg lehetséges, de az előző kérdés alapján nagyon pici annak a valószínűsége, hogy szabályos. (Ezt úgy is szoktuk mondani, hogy 1%-os szignifikanciaszinten a minta alapján nem fogadjuk el azt az állítást, hogy a rulettkerék szabályos.)
9. Észrevehetjük, hogy annak az eseménynek a valószínűségére, hogy a nullák száma 2 és 52 közé esik (a határokat is beleértve), az Alkalmazás 1-et ír ki. Ez ellentmond annak, hogy elméletileg 1 (vagy akár 101) nullát is guríthatnánk az 1000-ből. Miért van ez így?
   
   VÁLASZ:

   Az Alkalmazás 5 tizedesjeggyel dolgozik. A 2-nél kevesebb, ill. a 52-nél több nullák összesített valószínűsége kevesebb, mint 0,00001, így ezt 1-re kerekíti. Ez persze azt is jelenti, hogy ezeknek az eseményeknek a valószínűsége roppant alacsony.