9. évfolyam
Érintőnégyszögek tétele
Információ ehhez a munkalaphoz
Szükséges előismeret
Az érintő és az érintőnégyszög fogalma.
Módszertani célkitűzés
Az érintőnégyszögek tételének felfedeztetése és bizonyítása.
Az alkalmazás nehézségi szintje, tanárként
Könnyű, nem igényel külön készülést.
Módszertani megjegyzés, tanári szerep
Ez a tananyagegység frontális munkához és önálló munkához egyaránt használható. Kevésbé jó csoportok esetén tanári vezetéssel javasolt feldolgozni. Amennyiben ezt a munkaformát választjuk, használjunk aktív táblát, és minél több kérdéssel vezessük végig a gyerekeket a felfedezés lépésein. A lényeg, hogy a diákok végig aktív szereplői legyenek a felfedezésnek és a bizonyításnak. Törekedjünk arra, hogy a szaknyelvet minél többször használják!
Felhasználói leírás
Adott az ABCD konvex négyszög, amelynek A és C csúcsa mozgatható.
Rajzold meg a C, illetve D csúcsokhoz tartozó belső szögfelezőket (a csúcsokra kattintva). Szerkessz kört, amelynek a középpontja a szögfelezők metszéspontja, sugara pedig a megfelelő oldalegyenesektől vett közös távolság.
Mozgasd a négyszög A és/vagy C csúcsát addig, amíg a kör érinti a negyedik oldalt is! Mit figyelhetsz meg ekkor?
Tanácsok az interaktív alkalmazás használatához
A műveletvégzés sorrendje:
- A C illetve D csúcsokra kattintva megjelennek a szögfelezők.
- A
Metszéspont eszközre és a szögfelezőkre kattintva jelöljük ki a szögfelezők metszéspontját. - A
Merőleges eszközre, a szögfelezők metszéspontjára és a négyszög egyik oldalára kattintva rajzoljuk meg az érintési pontba húzható sugár egyenesét. - A Metszéspont eszközre, a négyszög egyik oldalára illetve a merőlegesre kattintva, jelöljük ki a kör egyik kerületi pontját.
- A
Kör eszközre történő kattintás után jelöljük meg a középpontot és a megfelelő kerületi pontot. - (Válasszuk a
Mozgatás ikont!) Mozgassuk a trapéz A és/vagy C csúcsát addig, míg a kör érinti a negyedik oldalt is! Ekkor a négyszög színe megváltozik. - Az érintő szakaszok jelölő négyzetbe kattintva megjelennek a beírt körhöz a csúcsokból húzott érintőszakaszok, az azonos hosszúságúak azonos színnel.
- Az összegek előtti jelölő négyzetbe kattintva megjelennek az AB+CD és AD+BC aktuális összegek.
Segítő kérdések, feladatok
- Miért biztos, hogy a két megrajzolt szögfelező metszéspontja egyenlő távolságra van a négyszög három oldalegyenesétől?
VÁLASZ:A szögfelezők tulajdonságából adódik. - Milyen kapcsolatban van az AB+CD és AD+BC értéke abban az esetben, amikor a kör mind a négy oldalt érinti?
VÁLASZ:Egyenlők. - Tapasztalataid alapján mi mondható annak a négyszögnek az oldalhosszairól, amelynek van beírható köre, azaz érintőnégyszög?
VÁLASZ:A szemközti oldalhosszak összege egyenlő. - A csúcsokból a beírt körhöz húzott érintőszakaszok segítségével bizonyítsd be, hogy ha az ABCD négyszögnek van beírt köre (azaz érintőnégyszög), akkor AB+CD és AD+BC!