9. évfolyam: A medián és a kvartilisek, továbbá a box plot ábra

9. évfolyam

A medián és a kvartilisek, továbbá a box plot ábra

KERESÉS

Információ ehhez a munkalaphoz

Szükséges előismeret

Gyakoriság, gyakorisági táblázat, oszlopdiagram.

Módszertani célkitűzés

A medián (középső érték) és a kvartilisek (negyedelő pontok) fogalmának megértése, továbbá a boxplot ábra (doboz diagram vagy sodrófa diagram) bemutatása.

Az alkalmazás nehézségi szintje, tanárként

Közepes.

Módszertani megjegyzés, tanári szerep

A kvartilisek meghatározására nincsen egységes megállapodás. Az általunk (a későbbiekben általánosan is) leírt módszert az alkalmazás szoftvere alkalmazza, de más adatelemző szoftverek esetleg más elv alapján határozzák meg a kvartiliseket. Megjegyezzük, hogy nagy adatsokaság esetében a kvartilisek különböző definícióinak gyakorlati szempontból nincs jelentősége. A boxplot diagram bal oldali vége az adatok minimumát, a jobb oldali vége az adatok maximumát jelöli. A „doboz” (box) bal oldala az alsó, míg jobb oldala a felső kvartilisnél helyezkedik el. A dobozban lévő függőleges vonal a mediánt jelöli. A doboz elhelyezkedéséből az adatsokaság eloszlásának aszimmetriája olvasható le: ha a bal oldalon található, akkor balra aszimmetrikus, azaz a kisebb adatok a jellemzőbbek; ha pedig a jobb oldalon található, akkor jobbra aszimmetrikus, azaz a nagyobb adatok a jellemzőbbek. A dobozban lévő vonal (medián) elhelyezkedéséből leolvasható, hogy az adatsokaság középső 50%-ának eloszlása mutat-e aszimmetriát.

Felhasználói leírás

Bevezető feladatok:

) Az osztálytársak felének legfeljebb mekkora a lábmérete?
) Az osztálytársak felének legalább mekkora a lábmérete?
) Az osztálytársak negyedének legfeljebb mekkora a lábmérete?
) Az osztálytársak negyedének legalább mekkora a lábmérete?

Az adatok törlésével vagy új adatok megadásával vizsgáld meg, hogyan alakul a medián és a két kvartilis értéke!

SEGÍTSÉG:

A tanulók hogyan határoznák meg? Az lábméreteket növekvő sorba kell tenni (rangsorolni kell) és megnézni, hogy 1)-2) melyik méret van középen? Ezt hívjuk mediánnak. 3) melyik méret van a negyedénél? Ezt hívjuk alsó (vagy első) kvartilisnek. 4) melyik méret van a háromnegyedénél? Ezt hívjuk felső (vagy harmadik) kvartilisnek. A második kvartilis maga a medián.

Feladatok

Hogyan határozzuk meg a mediánt, ha az adatok száma páratlan?
VÁLASZ:
Páratlan számú adat esetén van középső adat. Ha az adatok száma n, akkor a medián a rangsor $\frac{(n+1)}{2}$ -dik eleme.
Hogyan határozzuk meg a mediánt, ha az adatok száma páros?
VÁLASZ:
Páros számú adat esetén nincs középső adat. Ekkor a medián a két középső adat átlaga. Ha az adatok száma n, akkor a medián a rangsor $\frac{n}{2}$ -dik és ( $\frac{n}{2}$ +1)-dik elemének számtani közepe (átlaga).
Hogyan határozzuk meg a kvartiliseket 8, 9, 10, 11 adat esetén?
VÁLASZ:
8 adat esetén:
- a medián a rangsor 4. és 5. elemének átlaga,
- az alsó kvartilis a rangsor 2. és 3. elemének átlaga,
- a felső kvartilis a rangsor 6. és 7. elemének átlaga.
9 adat esetén:
- a medián a rangsor 5. eleme,
- az alsó kvartilis a rangsor 2. és 3. elemének átlaga,
- a felső kvartilis a rangsor 7. és 8. elemének átlaga.
10 adat esetén:
- a medián a rangsor 5. és 6. elemének átlaga,
- az alsó kvartilis a rangsor 3. eleme,
- a felső kvartilis a rangsor 8. eleme.
11 adat esetén:
- a medián a rangsor 6. eleme,
- az alsó kvartilis a rangsor 3. eleme,
- a felső kvartilis a rangsor 9. eleme.
Hogyan lehetne általánosítani?
VÁLASZ:
Az alsó kvartilis a sorba rendezett (de a mediánt nem tartalmazó) adatok alsó 50%-ának a mediánja. Vagyis ha n páros, akkor az első $\frac{n}{2}$ adat mediánja, ha páratlan, akkor az első $\frac{(n-1)}{2}$ adat mediánja. A felső kvartilis a sorba rendezett (de a mediánt nem tartalmazó) adatok felső 50%-ának a mediánja. Vagyis ha n páros, akkor az utolsó $\frac{n}{2}$ adat mediánja, ha n páratlan, akkor az utolsó $\frac{(n-1)}{2}$ adat mediánja.