9. évfolyam
Thalész-tétel
Információ ehhez a munkalaphoz
Szükséges előismeret
Definíciók: kör, kör sugara, átmérője, középponti szög, háromszög külső szöge. Háromszög belső szögeinek összegére vonatkozó tétel.
Módszertani célkitűzés
Thalész tételének és a tétel bizonyításának tanulókkal történő felfedeztetése. A tétel megfordításának bizonyítása. Kísérletezés különböző háromszögeken keresztül, a Thalész-kör mértani helyként történő értelmezése, megértése.
Az alkalmazás nehézségi szintje, tanárként
Könnyű, nem igényel külön készülést.
Módszertani megjegyzés, tanári szerep
A segédanyag egyéni és demonstrációs célra is alkalmas.
Az egyéni munkánál: Hagyjuk, hogy a sejtést a tanulók önállóan fogalmazzák meg! A jelölőnégyzetek kipipálásával önállóan jöjjenek rá, hogyan lehet a tételt bizonyítani.
Segítsük a tanulókat abban, hogy rájöjjenek a derékszög „keletkezésének” szükséges és elegendő feltételére, így a Thalész-kör mértani helyként való értelmezésére! Ennek alapján következtessenek a tétel megfordítására!
Frontális munkánál: Sorban, a jelölőnégyzetekbe kattintva tanári magyarázat mellett bemutatható a Thalész-tétel bizonyítása.
Emlékeztetőnek, ismétléshez, összefoglalásnál is használható.
Thalész-tétel: Egy kör AB átmérőjének két végpontját a körvonal bármely más D pontjával összekötve derékszögű háromszöget kapunk.
Bizonyítás: Kössük össze a kör O középpontját, a D ponttal. A keletkezett ADO és DBO háromszögek egyenlő szárúak, mert OA = OD = OB = r. Ezért OAD∢ = ADO∢ (esetünkben kétíves szögek), valamint ODB∢ = DBO∢ (a rajzlapon duplán áthúzott szögek). Az ABC háromszög belső szögeinek összege 180°. Ebből következik, hogy ADO∢ + ODB∢ = 90°.
A tétel megfordítása: Derékszögű háromszög köré írható körének középpontja az átfogó felezőpontja.
TÖRTÉNELMI HÁTTÉR
A tétel névadója Milétoszi Thalész (Kb. Kr. e. 624–546), a hét bölcs egyike, ókori matematikus, filozófus, csillagász. Az első olyan görög matematikus, akinek a neve fennmaradt. A tétel az ő nevét viseli. Írásos műve nem maradt ránk, így munkásságát mások leírásaiból ismerjük.
Felhasználói leírás
Mekkora szög keletkezik, ha egy kör egyik átmérőjének két végpontját összekötjük a körvonal bármely más pontjával?
Milyen szög keletkezik, ha az átmérő két végpontját külső vagy belső ponttal kötjük össze?
Tanácsok az interaktív alkalmazás használatához
A rajzlapon adott egy kör, valamint az ABC háromszög, amelynek egyik oldala az adott kör AB átmérője. Az A pont mozgatható, így tetszőleges átmérőt állíthatunk be. A C pont szintén változtatható, állítható még a bal felső sarokban a kör sugara is. Az „ACB szög nagysága” jelölőnégyzetet kiválasztva megjelenik a háromszög C csúcsánál lévő szögének nagysága, fokban. A C pontot mozgatva vizsgálhatjuk az adott szög nagyságát. A 4 segítséget sorban egymás után lehet kijelölni:
1. segítség: AC egyenes és a kör metszéspontja: D.
2. segítség: DO és DB szakaszok berajzolása, valamint és egyenlő szárú háromszögek kiemelése.
3. segítség: OA = OB = OD = r zöld színnel való megjelenítése.
4. segítség: Az AOD és DOB háromszögek egyenlő szögeinek kiemelése.
Feladatok
- A C pont mozgatásával vizsgáld meg, milyen háromszög keletkezik, attól függően, hogy a C pont hol helyezkedik el a körvonalhoz képest!
- Becsüld meg, mekkora lesz az ACB szög, ha a C pont a körvonalon van!
INFORMÁCIÓMegoldás: Ha a C pont a körvonalon van derékszöget kapunk.
- Vizsgáld meg, milyen fajtájú lesz az ACB szög, ha a C pont a körvonalon belül, vagy kívül van!
INFORMÁCIÓMegoldás: A körvonalon kívül hegyesszöget, a körvonalon belül tompaszöget kapunk.
- Pipáld ki az „ACB szög nagysága” jelölőnégyzetet, és ellenőrizd becslésed helyességét!
- Bekapcsolt jelölőnégyzet mellett változtasd a C pont helyzetét és közben figyeld, mekkora az ACB szög nagysága. Próbáld megfogalmazni észrevételeidet!
- Mi a szükséges feltétele annak, hogy a C csúcsnál derékszög keletkezzen?
INFORMÁCIÓMegoldás: Csak akkor keletkezik derékszög, hogyha a C csúcs a körvonalon van. Tehát a derékszög keletkezéséhez szükséges, hogy a C pont a körvonalon legyen.
- Mi az elégséges feltétele annak, hogy a C csúcsnál derékszög keletkezzen? Próbáld megindokolni az észrevételeidet! Az indoklás megfogalmazásához használhatod a segítségeket!
INFORMÁCIÓMegoldás: A derékszög keletkezésének elegendő feltétele, hogy a C pont a körvonalon legyen. Ahhoz, hogy derékszögű háromszög keletkezzen, szükséges és elegendő, hogy a C csúcs az AB átmérőjű körre essen (kivéve az átmérő végpontjait).