GEOMATECH tananyagok

KERESÉS

Felhasználói leírás

A panelon felsorolt lehetőségek közül lehet választani. Egyszerre mindig csak egyet. 

A „Hozzáad” és „Szoroz” lehetőségek kiválasztásakor egy-egy csúszkával beállíthatók a tényezők (mindkettőnél az intervallum: [–5; 5]).

Tanácsok az interaktív alkalmazás használatához

A panelon felsorolt lehetőségek közül lehet választani. Egyszerre mindig csak egyet. 

A „Hozzáad” és „Szoroz” lehetőségek kiválasztásakor egy-egy csúszkával beállíthatók a tényezők (mindkettőnél az intervallum: [–5; 5]).

Feladatok

ÚTMUTATÁS

Az eredeti  egyenlet két oldalának grafikonja (tehát az  egyenletű egyenes és az  egyenletű egyenes) végig látható világoszöld és világoskék színnel. Szintén látható, hogy az egyenlet (egyetlen) gyöke: x= 1. Ha változtatjuk az egyenletet, akkor a két oldalnak megfelelő görbe színe jelzi, mi mihez tartozik. A világoszöldnek a sötétzöld a párja, s hasonlóan a világoskéknek a sötétkék.

1. Add hozzá az egyenlet mindkét oldalához ugyanazt a számot! A „Hozzáad”-ot kiválasztva figyeld meg, hogy a kapott új egyenletnek más lesz-e a megoldáshalmaza, mint az eredetié?
   VÁLASZ:

   A megoldáshalmaz ugyanaz lesz (ekvivalens átalakítás).
2. Szorozd meg mindkét oldalt ugyanazzal a tetszőleges számmal! A „Szoroz” lehetőséget kiválasztva figyeld meg, hogy a kapott új egyenletnek más lesz-e a megoldáshalmaza, mint az eredetié? Mi történik, ha 0 a szorzótényező?
   VÁLASZ:

   A megoldáshalmaz ugyanaz lesz, ha a szorzótényező 0-tól különböző szám. Ha az egyenlet mindkét oldalát 0-val szorozzuk, akkor minden valós szám megoldás lesz, így a megoldáshalmaz megváltozik.
3. Emeld négyzetre mindkét oldalt! A „Négyzetre emel”-t kiválasztva figyeld meg, hogy a kapott új egyenletnek más lesz-e a megoldáshalmaza, mint az eredetié?
   VÁLASZ:

   A négyzetre emeléssel kapott egyenlet megoldáshalmaza más lesz, mint az eredeti egyenleté. Az „új egyenlet” gyökei között az eredeti egyenlet gyöke és egy attól különböző szám is szerepel (–1), amely az eredeti egyenletnek nem gyöke. Ha tehát egy egyenlet megoldása során az egyenlet mindkét oldalát négyzetre emeljük, akkor olyan új egyenlethez jutunk, amelynek a megoldáshalmaza bővebb lehet, mint az eredetié. Ekkor tehát különösen fontos az ellenőrzés, az esetleges „hamis gyökök” megtalálása!
4. Mi történik, ha veszed az egyenlet mindkét oldalának reciprokát? A „Reciprok” lehetőséget kiválasztva figyeld meg, hogy a kapott új egyenletnek más lesz-e a megoldáshalmaza, mint az eredetié?
   VÁLASZ:

   Az „új egyenlet” megoldáshalmaza megegyezik az eredeti egyenlet megoldáshalmazával. Fontos, hogy a 0-nak nincs reciproka!
5. Emeld köbre az egyenlet mindkét oldalát! A „Köbre emel”-t kiválasztva figyeld meg, hogy a kapott új egyenletnek más lesz-e a megoldáshalmaza, mint az eredetié?
   VÁLASZ:

   A megoldáshalmaz ugyanaz lesz.
6. Vedd az egyenlet mindkét oldalának négyzetgyökét! A „Gyököt von”-t kiválasztva figyeld meg, hogy a kapott új egyenletnek más lesz-e a megoldáshalmaza, mint az eredetié?
   VÁLASZ:

   A kapott „új egyenlet” megoldáshalmaza más, mint az eredeti egyenleté. Az új megoldáshalmazban nincs benne az eredeti egyenlet gyöke. Ez a példa megmutatja, hogy egy egyenlet megoldása során mindkét oldal négyzetgyökét véve olyan egyenlethez jutunk, amelynek megoldáshalmaza szűkebb lehet, mint az eredetié: gyökvesztés léphet fel. Emiatt ezt az átalakítást különös körültekintéssel célszerű alkalmazni („kikötések”). Érdemes felhívni a figyelmet, hogy négyzetgyöke csak a nemnegatív valós számoknak van. Ez itt szépen látszódik.
7. Szorozd meg az egyenlet mindkét oldalát x-szel! A „Szoroz x-szel”-t kiválasztva figyeld meg, hogy a kapott új egyenletnek más lesz-e a megoldáshalmaza, mint az eredetié?
   VÁLASZ:

   A szorzással kapott új egyenlet megoldáshalmaza más lesz, mint az eredeti egyenleté. Az „új egyenlet” gyökei között az eredeti egyenlet gyöke és egy attól különböző szám is szerepel (a 0), amely az eredeti egyenletnek nem gyöke. Ha tehát egy egyenlet megoldása során az egyenlet mindkét oldalát megszorozzuk x-szel, akkor olyan új egyenlethez jutunk, amelynek a megoldáshalmaza bővebb lehet, mint az eredetié.
8. Szorozd meg az egyenlet mindkét oldalát (x – 1)-gyel! Az „(x – 1)-gyel szoroz”-t kiválasztva figyeld meg, hogy a kapott új egyenletnek más lesz-e a megoldáshalmaza, mint az eredetié?
   VÁLASZ:

   A szorzással kapott új egyenlet megoldáshalmaza megegyezik az eredeti egyenlet megoldáshalmazával.
9. Oszd el mindkét oldalt x-szel! A „x-szel oszt”-ot kiválasztva figyeld meg, hogy a kapott új egyenletnek más lesz-e a megoldáshalmaza, mint az eredetié?
   VÁLASZ:

   Az osztással kapott új egyenlet megoldáshalmaza megegyezik az eredeti egyenlet megoldáshalmazával.