GEOMATECH tananyagok

KERESÉS

Felhasználói leírás

Figyeld meg, mi történik az  egyenlettel, ha különböző műveleteket hajtunk végre! Hogyan alakul a különböző lépésekkel kapott új egyenletek gyökeinek a száma és értéke az eredeti gyökhöz képest?

A megoldáshalmazt a valós számok halmazában keressük.

Az eredeti  egyenlet két oldalának grafikonja (tehát az  egyenletű egyenes és az  egyenletű egyenes) végig látható világoszöld és világoskék színnel. Szintén látható a gyöke: .

Ha változtatjuk az egyenletet, akkor a két oldalnak megfelelő görbe színe jelzi, hogy mi mihez tartozik. A világoszöldnek a sötétzöld a párja, s hasonlóan a világoskéknek a sötétkék.

Tanácsok az interaktív alkalmazás használatához

A panelon felsorolt lehetőségek közül lehet választani. Egyszerre mindig csak egyet. 

A „Hozzáad” és „Szoroz” lehetőségek kiválasztásakor egy-egy csúszkával beállíthatók a tényezők (mindkettőnél az intervallum: [–5; 5]).

Feladatok

1. Add hozzá az egyenlet mindkét oldalához ugyanazt a számot! A „Hozzáad” lehetőséget kiválasztva figyeld meg, hogy a kapott új egyenletnek más lesz-e a megoldáshalmaza, mint az eredetié?
   MEGOLDÁS:

   A megoldáshalmaz ugyanaz lesz (ekvivalens átalakítás).
2. Szorozd meg mindkét oldalt ugyanazzal a tetszőleges számmal!  A „Szoroz” lehetőséget kiválasztva figyeld meg, hogy a kapott új egyenletnek más lesz-e a megoldáshalmaza, mint az eredetié? Mi történik, ha 0 a szorzótényező?
   MEGOLDÁS:

   A megoldáshalmaz ugyanaz lesz, ha a szorzótényező 0-tól különböző szám. Külön emeljük ki a 0-val történő szorzás hatását.
3. Emeld négyzetre mindkét oldalt!  A „Négyzetre emel”-t kiválasztva figyeld meg, hogy a kapott új egyenletnek más lesz-e a megoldáshalmaza, mint az eredetié?
   MEGOLDÁS:

   A megoldáshalmaz ugyanaz lesz.
4. Mi történik, ha veszed az egyenlet mindkét oldalának reciprokát? A „Reciprok” lehetőséget kiválasztva figyeld meg, hogy a kapott új egyenletnek más lesz-e a megoldáshalmaza, mint az eredetié?
   MEGOLDÁS:

   Az új egyenlet megoldáshalmaza más lesz, mint az eredeti egyenleté. Ez a példa megmutatja, hogy egy egyenlet megoldása során mindkét oldal reciprokát véve olyan egyenlethez jutunk, amelynek megoldáshalmaza szűkebb lehet, mint az eredetié: gyökvesztés léphet fel. Emiatt ezt az átalakítást különös körültekintéssel célszerű alkalmazni („kikötések”).
5. Emeld köbre mindkét oldalt!  A „Köbre emel”-t kiválasztva figyeld meg, hogy a kapott új egyenletnek más lesz-e a megoldáshalmaza, mint az eredetié?
   MEGOLDÁS:

   A megoldáshalmaz ugyanaz lesz.
6. Végezz gyökvonást mindkét oldalon! A „Gyököt von” lehetőséget kiválasztva figyeld meg, hogy a kapott új egyenletnek más lesz-e a megoldáshalmaza, mint az eredetié?
   MEGOLDÁS:

   A megoldáshalmaz ugyanaz lesz. Érdemes felhívni a figyelmet, hogy négyzetgyöke csak a nem negatív valós számoknak van. Ez itt szépen látszódik.
7. Szorozd meg mindkét oldalt x-szel!  A „Szoroz x-szel” lehetőséget kiválasztva figyeld meg, hogy a kapott új egyenletnek más lesz-e a megoldáshalmaza, mint az eredetié?
   MEGOLDÁS:

   A szorzással kapott új egyenlet megoldáshalmaza más lesz, mint az eredeti egyenleté. Az „új egyenlet” gyökei között az eredeti egyenlet gyöke és egy attól különböző szám is szerepel (a 0), amely az eredeti egyenletnek nem gyöke. Ha tehát egy egyenlet megoldása során az egyenlet mindkét oldalát megszorozzuk x-szel, akkor olyan új egyenlethez jutunk, amelynek a megoldáshalmaza bővebb lehet, mint az eredetié.
8. Szorozd meg mindkét oldalt (x+2) -vel!  Az „(x+2) -vel szoroz” lehetőséget kiválasztva figyeld meg, hogy a kapott új egyenletnek más lesz-e a megoldáshalmaza, mint az eredetié?
   MEGOLDÁS:

   A szorzással kapott új egyenlet megoldáshalmaza megegyezik az eredeti egyenlet megoldáshalmazával.
9. Szorozd meg mindkét oldalt (x+4)-gyel!  Az „(x+4)-gyel szoroz” lehetőséget kiválasztva figyeld meg, hogy a kapott új egyenletnek más lesz-e a megoldáshalmaza, mint az eredetié?
   MEGOLDÁS:

   Az „új egyenlet” gyökei között az eredeti egyenlet gyöke és egy attól különböző szám is szerepel (a-4), amely az eredeti egyenletnek nem gyöke. Térjünk ki a három utolsó eset közötti különbségre: Miért különböznek a megoldáshalmazok?
10. Oszd el mindkét oldalt x-szel! A „x-szel oszt” lehetőséget kiválasztva figyeld meg, hogy a kapott új egyenletnek más lesz-e a megoldáshalmaza, mint az eredetié?
    MEGOLDÁS:

    Az osztással kapott új egyenlet megoldáshalmaza megegyezik az eredeti egyenlet megoldáshalmazával.