12. évfolyam

A hipotézisvizsgálat során elkövethető hibák 4

KERESÉS

Felhasználói leírás

Van két urna. Tudod, hogy az első urnában 50 golyó van, amelyek 20%-a piros; a második urnában 50 golyó van, amelyek 50%-a piros. Az egyik urnából valaki egyszerre kihúz 20 golyót, majd megmondja neked, hogy hány piros van a kihúzottak között. Az a feladatod, hogy a kapott információ alapján el tudd dönteni, hogy melyik urnából húzták a golyókat, az elsőből vagy a másodikból.

Legyen az a hipotézised, hogy a golyókat az első urnából húzták!

A számodra ismertté váló minta (a 20 húzás eredménye) alapján ezt a hipotézisedet elfogadhatod vagy elvetheted, azaz döntést hozhatsz a kérdésben, hogy az első vagy a második urnából származik-e a minta.

Tudod, hogy a minta alapján hozott döntésed hibás is lehet (elsőfajú vagy másodfajú hibát követhetsz el). Azt szeretnéd, hogy a hipotézisvizsgálat során elkövethető elsőfajú és másodfajú hiba a lehető legkisebb mértékben térjen el egymástól (a két valószínűség különbsége közel 0 legyen).

Tanácsok az interaktív alkalmazás használatához

  1. Beállítható az urnában lévő golyók száma (N) és a minta mérete (n).
  2. Az n értéke minimum N/10, maximum N/2 lehet.
  3. Az első urnában a piros golyók aránya 20%, a másodikban 50%.
  4. A diagramon sárgával látható az első urnából, kékkel pedig a második urnából vett minta esetén a kihúzott piros golyók számának valószínűség-eloszlása (hipergeometrikus eloszlások).
  5. A vízszintes tengelyen lévő fekete háromszöggel beállíthatók azok az intervallumok ([k+1; n] és [0; k]), amelyekhez tartozó valószínűségek a panelen megjelennek.

Feladatok

1. Tegyük fel, hogy elhatároztad: a hipotézisedet elfogadod, ha a kihúzott golyók között legfeljebb 5-ször fordult elő piros. Ezt követően megmondják meg neked, hogy valójában hány piros golyó volt a kihúzott 20 golyó között, és ennek alapján te meghozod a döntésedet.

a) Mekkora valószínűséggel követsz el elsőfajú hibát?

b) Mekkora valószínűséggel követsz el másodfajú hibát?

c) Mekkora az eltérés a hibák elkövetésének valószínűsége között?

2. Tegyük fel, hogy elhatároztad: a hipotézisedet elfogadod, ha a kihúzott golyók között legfeljebb 6-szor fordult elő a piros. Ezt követően megmondják neked, hogy valójában hány piros golyó volt a kihúzott 20 golyó között, és ennek alapján te meghozod a döntésedet.

a) Mekkora valószínűséggel követsz el elsőfajú hibát?

b) Mekkora valószínűséggel követsz el másodfajú hibát?

c) Mekkora az eltérés a hibák elkövetésének valószínűsége között?

3. Tegyük fel, hogy elhatároztad: a hipotézisedet elfogadod, ha a kihúzott golyók között legfeljebb 7-szer fordult elő a piros. Ezt követően megmondják neked, hogy valójában hány piros golyó volt a kihúzott 20 golyó között, és ennek alapján te meghozod a döntésedet. a) Mekkora valószínűséggel követsz el elsőfajú hibát? b) Mekkora valószínűséggel követsz el másodfajú hibát? c) Mekkora az eltérés a hibák elkövetésének valószínűsége között?

4. Változtasd meg a minta elemszámát (a piros golyók aránya az első, illetve második urnában változatlanul 20%, illetve 50% marad)! a) Az 1-3. feladatokhoz hasonlóan fogalmazz meg elfogadási feltételeket arra a hipotézisre, hogy a minta az első urnából származik. b) Ezután állapítsd meg az elsőfajú és a másodfajú hiba elkövetésének valószínűségét és a két valószínűség különbségét is! c) Keresd meg mindegyik esetben azt az elfogadási feltételt, amely esetén a kétféle hiba valószínűségének különbsége a lehető legkisebb!

5. Állítsd az urnákban lévő golyók számát 500-ra! A visszatevés nélküli minta méretét ekkor 50-től 250-ig változtathatod. a) Vizsgálj meg több esetet és fogalmazd meg a tapasztalataidat! b) Melyik esetekben tudsz „szinte biztos” döntést hozni a hipotézisedről és miért?