GEOMATECH tananyagok

KERESÉS

Felhasználói leírás

30 cm sugarú körlapból mekkora középponti szögű körcikket vágjunk ki, hogy mint palástot felhasználva maximális térfogatú forgáskúpot kapjunk? Mekkora lesz a maximális térfogat?

EMBED

Kérdések, megjegyzések, feladatok

1. FELADAT
   Az ábra alapján fejezzük ki a forgáskúp térfogatát r és R függvényeként!
   
   VÁLASZ:

   Az ábra egyértelműen jelöli r, R, m jelentését.
   m²+r²=R², ahonnan: m=$\sqrt[]{R^2-r^2}$
   V=$\frac{1}{3}$r²πm=$\frac{π}{3}$r²$\sqrt[]{R^2-r^2}$

    

2. FELADAT
   A térfogatot most írjuk fel φ függvényeként, ahol φ a körcikk középponti szögét jelöli radiánban!
   
   LEVEZETÉS:

   R$\cdot$φ=2π$\cdot$r, ahonnan: r²=($\frac{R \cdot φ}{2π}$)²
   V(φ)=$\frac{π}{3}$$\cdot$$\frac{R^2 \cdot φ^2}{4π^2}$$\cdot$ $\sqrt{R^2-\frac{R^2φ^2}{4π^2} }$=$\frac{R^3 \cdot φ^2}{12π}$$\cdot$$\sqrt{1-\frac{φ^2}{4π^2} }$
   Legyen x=$\frac{φ}{2π}$ (ahol 0 < < 1), ekkor
   V(x)=9000πx²$\sqrt[]{(1-x)^2}$.

    

3. FELADAT
   Az ábrán az f(x)=9000πx²$\sqrt[]{(1-x)^2}$. (ahol 0 < x < 1 ) függvény grafikonja látható.
   Olvasd le a szélsőérték helyét és értékét!
   A leolvasott érték milyen értéknek felel meg?
   
   VÁLASZ:

   (0,82;10882,8)
   φ=x$\cdot$2π=5,15

    

4. FELADAT
   Határozd meg számítással a f(x)=9000πx²$\sqrt[]{(1-x)^2}$ (ahol 0 < < 1 ) függvény szélsőértékének helyét és értékét!
   A számított x érték milyen φ értéknek felel meg?
   
   VÁLASZ:

   f'(x)=9000π( 2x$\sqrt[]{(1-x)^2}$ +x2 $\frac{1}{2\sqrt{(1-x)^2} }$(-2x) )= $\frac{2x-3x^3}{\sqrt{1-x^2} }$
   Átalakításokkal kapjuk, hogy
   x(2-3x²)=0
   x=$\sqrt{\frac{2}{3} }$ ≈ 0,82 mivel 0 < x < 1. Az f(x)függvény konkáv, mivel második deriváltja negatív x=$\sqrt{\frac{2}{3} }$ helyen, mely a „második derivált” funkcióval ellenőrizhető.
   Így lokális maximuma van az első derivált zérushelyénél
   =x$\cdot$2π=5,13

    

5. FELADAT
   Mekkora lesz a maximális térfogat?
   V_max=9000π$\frac{2}{3}$$\cdot$$\sqrt{1-\frac{2}{3} }$