GEOMATECH tananyagok

KERESÉS

Felhasználói leírás

10 egység sugarú és 20 egység magasságú henger köré írjunk minimális térfogatú kúpot!
Mekkora ennek a kúpnak a sugara és magassága? Mekkora a minimális térfogat?

EMBED

Kérdések, megjegyzések, feladatok

1. FELADAT
   Az ábra alapján fejezd ki a henger köré írt kúp térfogatát r, m és R függvényeként!
   Az ábra egyértelműen jelöli, hogy r, R, m, M mit jelentenek.
   $\frac{M}{R}$=$\frac{m}{R-r}$; ahonnan: M=$\frac{m \cdot R}{R-r}$ (m és r adottak)
   V(R)=$\frac{1}{3}$$\cdot$R²$\cdot$π$\cdot$M=$\frac{1}{3}$$\cdot$π$\cdot$m$\cdot$$\frac{R^3}{R-r}$
   Ha r=10 és m=20, akkor V(r)=$\frac{20}{3}$$\cdot$π$\cdot$$\frac{R^3}{R-10}$ ; ahol R > 10 .
2. FELADAT
   Az ábrán a f(x)=$\frac{20\cdotπ}{3}$$\cdot$$\frac{x^3}{x-10}$ függvény grafikonja látható.
   Olvasd le a szélsőérték helyét és értékét!
   
   VÁLASZ:

   (15,04; 14137,48)
3. FELADAT
   Határozd meg számítással a szélsőérték helyét és értékét!
   
   VÁLASZ:

   f'(x)=$\frac{20}{3}$$\cdot$π$\cdot$$\frac{3x^2(x-10)-x^3}{(x-10)^2}$ x > 0
   f'(x)=0
   x²(x-15)=0
   f(x) függvény konvex, mivel második deriváltja pozitív x=15 helyen, mely a „második derivált” funkcióval ellenőrizhető.
   Így lokális minimuma van az első derivált zérushelyénél.
   x=15 a minimumhely
   V_min=4500π ≈ 14137,17