GEOMATECH tananyagok

KERESÉS

Felhasználói leírás

A matematikai analízis szinte teljes egészében a határérték fogalmára épül. Jó példa erre a differenciálszámítás és az integrálszámítás. A következőkben egy adott sorozat határértékét vizsgájuk. A csúszka segítségével állítható a megjelenített elemek száma. Az y tengely futópontjával változtatható ε értéke.

EMBED

Kérdések, megjegyzések, feladatok

DIÁKOKNAK SZÓLÓ BEVEZETŐ KIEGÉSZÍTÉSE
Az a_n sorozat határértéke A valós szám, ha bármely kicsiny ε > 0 számhoz létezik olyan n₀ küszöbindex (n₀ természetesen függ ε-tól), hogyha n > n₀, akkor a_n-nek A-tól való eltérése kisebb,mint ε, azaz: |a_n – A| < ε.

KAPCSOLÓDÓ ÉRDEKESSÉGEK
Ki volt az a matematikus, aki felfigyelt Augustin Louis Cauchy matematika iránti érdeklődését? Nézzenek utána a diákok az interneten vagy egyéb helyen! Számoljanak be Cauchy életéről és munkásságáról!

KITEKINTÉS
Cauchy-féle kritérium: Ahhoz, hogy egy an sorozat konvergens legyen, szükséges és elegendő, hogy bármely ε > 0-hoz megadható legyen olyan (ε-től függő) n₀ küszöbszám, hogy ha n, m > _n0, akkor |a_n – a_m| < ε.
A határérték fogalmát a topológia illetve a kategóriaelmélet eszközeivel általánosabban is meg lehet határozni.

1. FELADAT
   Tekintsük az a_n=1+(-1)ⁿ $\cdot$ $\frac{n+1}{n}$ sorozatot. Olvasd le a küszöbszámot az alábbi értékekhez: ε₁=0,3; ε₁=0,2; ε₁=0,1
   
   VÁLASZ:

   Ez a sorozat divergens, azonban a páros és páratlan sorszámú tagokból alkotott sorozatok külön-külön konvergensek:
   b_n=1+$\frac{n+1}{n}$, ahol n páros
   c_n=1-$\frac{n+1}{n}$, ahol n páratlan
   A küszöbszámokat b_n és c_n esetén egyaránt határozzuk meg, és a további feladatokat is ezen két sorozat mindegyikével oldjuk meg.
2. FELADAT
   Számítással ellenőrizd az első feladatban leolvasott értékeket!
   ε₁=0,3 esetén:
   |1+$\frac{n+1}{n}$-2| < 0,3
   $\frac{n+1}{n}$-1 < 0,3
   n > $\frac{10}{3}$ ≈ 3,3
   A többi ε érték esetén a küszöbszám hasonlóan számítható.