GEOMATECH tananyagok

KERESÉS

Felhasználói leírás

A matematikai analízis szinte teljes egészében a határérték fogalmára épül. Jó példa erre a differenciálszámítás és az integrálszámítás.
A következőkben egy adott sorozat határértékét vizsgájuk.
A csúszka segítségével állítható a megjelenített elemek száma.
Az y tengely futópontjával változtatható ε értéke.

EMBED

Kérdések, megjegyzések, feladatok

DIÁKOKNAK SZÓLÓ BEVEZETŐ KIEGÉSZÍTÉSE
Az a_n sorozat határértéke A valós szám, ha bármely kicsiny ε > 0 számhoz létezik olyan n₀ küszöbindex (n₀ természetesen függ ε-tól), hogyha n > n₀, akkor a_n-nek A-tól való eltérése kisebb,mint ε, azaz: |a_n – A| <  ε.

KAPCSOLÓDÓ ÉRDEKESSÉGEK
Ki volt az a matematikus, aki felfigyelt Augustin Louis Cauchy matematika iránti érdeklődését? Nézzenek utána a diákok az interneten vagy egyéb helyen! Számoljanak be Cauchy életéről és munkásságáról!

KITEKINTÉS
Cauchy-féle kritérium: Ahhoz, hogy egy an sorozat konvergens legyen, szükséges és elegendő, hogy bármely ε > 0-hoz megadható legyen olyan (ε-től függő) n₀ küszöbszám, hogy ha n, m > n₀, akkor |a_n – a_m| < ε.
A határérték fogalmát a topológia illetve a kategóriaelmélet eszközeivel általánosabban is meg lehet határozni.

1. FELADAT
   Tekintsük az a_n=$\sqrt[]{n+3}$-$\sqrt[]{n+5}$ sorozatot. Olvasd le a küszöbszámot az alábbi értékekhez: ε₁=0,3; ε₁=0,2; ε₁=0,1
   
   VÁLASZ:

   A küszöbszámok rendre: 7, 21, 96
2. FELADAT
   Számítással ellenőrizd az első feladatban leolvasott értékeket!
   ε₁=0,3 esetén:
   |$\sqrt[]{n+3}$-$\sqrt[]{n+5}$-0| < 0,3
   $\sqrt[]{n+3}$-$\sqrt[]{n+5}$ < 0,3
   n > 7,1
   A többi ε érték esetén a küszöbszám hasonlóan számítható.