11. évfolyam

Sorozatok vizsgálata – alap

KERESÉS

Felhasználói leírás

A matematikai analízis szinte teljes egészében a határérték fogalmára épül. Jó példa erre a differenciálszámítás és az integrálszámítás.
A következőkben egy adott sorozat határértékét vizsgáljuk.
A csúszka segítségével állítható a megjelenített elemek száma.
Az y tengely futópontjával változtatható ε értéke.

EMBED

Kérdések, megjegyzések, feladatok

DIÁKOKNAK SZÓLÓ BEVEZETŐ KIEGÉSZÍTÉSE
Az an sorozat határértéke A valós szám, ha bármely kicsiny ε > 0 számhoz létezik olyan n0 küszöbindex (n0 természetesen függ -tól), hogyha n > n0, akkor an-nek A-tól való eltérése kisebb, mint ε, azaz: |an-A| < ε.

KAPCSOLÓDÓ ÉRDEKESSÉGEK
Nézzenek utána a diákok Augustin Louis Cauchy életének és munkásságának az interneten vagy egyéb helyeken!

KITEKINTÉS
Cauchy-féle kritérium: Ahhoz, hogy egy sorozat konvergens legyen, szükséges és elegendő, hogy bármely > 0-hoz megadható legyen olyan (-től függő) küszöbszám, hogy ha , akkor < .
A határérték fogalmát a topológia illetve a kategóriaelmélet eszközeivel általánosabban is meg lehet határozni.

  1. FELADAT
    Tekintsük az an= \frac{1}{n^2} sorozatot.
    Olvasd le a küszöbszámot az alábbi értékekhez: ; ;
  2. FELADAT
    Számítással ellenőrizd az első feladatban leolvasott értékeket!