GEOMATECH tananyagok

KERESÉS

Felhasználói leírás

Figyeld meg, hogy hogyan hat az f(x)=$\frac{a}{x^k}$+b$\cdot$xⁿ, x ∈ R \ {0}, a,b ∈ R, k,n ∈ N függvényre a paraméterek változtatása! Vizsgáld meg lehetőleg minél több szempont szerint! A vizsgálathoz használhatod a függvény grafikonját. Segítségképpen használhatod a görbe egy mozgatható P pontját, a P-beli érintőjét, továbbá a függvény első és második deriváltfüggvényét is. Figyeld meg, hogy van-e bármiféle kapcsolat a függvénygörbe, a másik két függvény és az érintő között! Próbáld meg is fogalmazni, hogy mi!

EMBED

Kérdések, megjegyzések, feladatok

1. FELADAT
   Végezd el a függvény elemzését elemi úton! Hogyan függ a k és az n választásától az, hogy páros vagy páratlan függvényt kapsz? Mely esetekben nem lesz se páros, se páratlan a függvény?
2. FELADAT
   Válassz egy tetszőleges pontot a függvénygörbén, és kapcsold be az érintőt! Figyeld meg, hogyan változik az érintő, ha mozgatod a pontod! Az érintő állása, illetve a meredeksége (nem számszerűen) mutat-e kapcsolatot valamelyik elemzési szemponttal?
   1. Ha igen, akkor melyikkel?
   2. Ha nem találtál összefüggést, változtass a paramétereken és próbáld újra!
   3. Ha megsejtettél egy összefüggést, akkor ellenőrizd, hogy a paraméterek változtatása után is igaz maradt-e a sejtésed!
   VÁLASZ:

   Ha a függvény egy nyílt intervallumban szigorúan monoton növekedő, akkor az érintő meredeksége az intervallum minden pontjában nem negatív. Csökkenő függvény esetén az érintő meredeksége minden pontban nem pozitív.
3. FELADAT
   Ha szerinted már megvan az összefüggés, kapcsold be az első deriváltat!
   Melyik függvényt kaptad?
   
   VÁLASZ:

   Az függvény deriváltfüggvénye az f'(x)=$\frac{A}{x^k+1}$+B$\cdot$x^n-1, x ∈ R \ {0}, a,b ∈ R, k,n ∈ N függvény, ahol A=-ak és B=bn.
4. FELADAT
   A kapott függvény, az érintő és az eredeti függvény valamely tulajdonsága között látsz-e valamilyen összefüggést? (Ahhoz, hogy könnyebben észrevedd, most is mozgasd a pontot!)
   1. Ha igen, akkor melyik tulajdonsággal?
   2. Ha nem találtál összefüggést, változtass a paramétereken és próbáld újra!
   3. Ha megsejtettél egy összefüggést, akkor ellenőrizd, hogy a paraméterek változtatása után is igaz maradt-e a sejtésed!
   VÁLASZ:

   Ha a nyílt intervallumon deriválható függvény deriváltja az intervallumban mindenütt pozitív, akkor az adott intervallumon a függvény szigorúan monoton növekszik, ha pedig a derivált negatív, akkor csökken.
   A szélsőérték hely a deriváltfüggvénynek zérushelye.
5. FELADAT
   Ha szerinted már megvan az összefüggés, kapcsoldbe a második deriváltat! Melyik függvényt kaptad?
   
   VÁLASZ:

   Az függvény második deriváltfüggvénye az az f''(x)=$\frac{A}{x^k+2}$+B$\cdot$x^n-2, x ∈ R \ {0}, a,b ∈ R, k,n ∈ N függvény, ahol A=-ak(k+1) és B=bn(n-1).
6. FELADAT
   A kapott függvény, az érintő, az első derivált és az eredeti függvény valamely tulajdonsága között látsz-e valamilyen összefüggést? (Ahhoz, hogy könnyebben észrevedd, most is mozgasd a pontot!)
   
   1. Ha igen, akkor melyikkel?
   2. Ha nem találtál összefüggést, változtass a paramétereken és próbáld újra!
   3. Ha megsejtettél egy összefüggést, akkor ellenőrizd, hogy a paraméterek változtatása után is igaz maradt-e!
   VÁLASZ:

   Ha a függvény grafikonja (alulról) konvex, akkor a második derivált pozitív, és ha (alulról) konkáv, akkor a második derivált negatív. Ahol görbületet vált (ahol áthajlási pontja van), ott a második derivált nulla.