GEOMATECH tananyagok

KERESÉS

Felhasználói leírás

Vizsgáld meg a [–5; 5] intervallumon értelmezett f(x)=$\frac{2x}{1+x^2}$ függvényt egy mozgatható pontja segítségével!

EMBED

Kérdések, megjegyzések, feladatok

1. FELADAT
   Mi az f függvény értékkészlete?
   
   VÁLASZ:

   Az f függvény értékkészlete a [–1; 1] intervallum.
2. FELADAT
   Van-e a függvénynek zérushelye?
   1. Ha van, hol van?
   2. Lehet-e a függvénynek több zérushelye?
   3. Ha igen, akkor miért? Ha nem, akkor miért nem?
   VÁLASZ:

   1. Van, az x = 0 helyen.
   2. b) és c) Nem lehet több zérushelye, mert a $\frac{2x}{1+x^2}$ tört számlálója csak az x=0-ban lehet nulla.

    

3. FELADAT
   Állapítsd meg a függvény szélsőértékeit (lokális - globális, maximum - minimum)!
   
   VÁLASZ:

   A függvénynek globális és lokális szélsőértéke egyaránt van. Abszolút (globális) minimuma van az x=-1 helyen, az értéke –1. Abszolút (globális) maximuma van az x=1 helyen, a maximum értéke 1. Helyi (lokális) minimuma van az x=5 helyen, a helyettesítési értéke itt $\frac{10}{26}$. Helyi (lokális) maximuma az x=-5 helyen található, az itt felvett függvényérték -$\frac{10}{26}$ .

    

4. FELADAT
   Határozd meg a függvény menetét!
   
   VÁLASZ:

   A függvény a [–5; –1[ intervallumon szigorúan monoton csökken, a ]–1; 1[ intervallumon pedig szigorúan monoton nő. Az ]1; 5] intervallumon szintén szigorúan monoton csökken.
5. FELADAT
   Állapítsd meg a függvény paritását!
   
   VÁLASZ:

   A függvény páratlan.
6. FELADAT
   Korlátos-e a függvény?
   
   VÁLASZ:

   A függvény korlátos. Legkisebb felső korlátja 1, legnagyobb alsó korlátja –1.
7. FELADAT
   Terjesszük ki a függvény értelmezési tartományát a valós számok halmazára! Hogyan változnak a fenti kérdésekre adott válaszaid?
   
   VÁLASZ:

   A függvény elveszíti a lokális szélsőértékeit –5-ben és 5-ben. Minden más változatlan marad.