GEOMATECH tananyagok

KERESÉS

Felhasználói leírás

Hogy változik az f(x)=c$\cdot$log_a(x+u)+v hozzárendelési szabályú függvény grafikonja, ha megváltoztatom a paramétereit? Kísérletezz!

EMBED

Kérdések, megjegyzések, feladatok

1. Az f(x)=c$\cdot$log_a(x+u)+v hozzárendelési szabályú függvény négy paraméterének változtatásával látványosan megvizsgálhatók a függvénytranszformációk tulajdonságai. A függvény grafikonja egy pont (P) segítségével mozgatható, ha –15 ≤ v ≤ 15; –5 ≤ u ≤ 5. Ekkor mozgatás közben figyelhetők meg a paraméterek változásai.
   A görbe aszimptotája és az f(x)=c$\cdot$log_a(x)+v grafikonja is megjeleníthető.
   A tananyag alkalmas frontális, egyéni és páros munkaformához is.
   A diákok otthon is használhatják elméleti tudásuk elmélyítéséhez, házi feladatok megoldásához, gyakorlásra.
   A tanároknak feladatsorok előkészítéséhez, dolgozatok összeállításához is ajánlható.
   Segédanyag kezdeti helyzetének leírása
   Csúszkák:
   • a, c, u és v: a függvény paraméterei. (0 < a ≤ 5, de a ≠ 1; –5 ≤ c, v ≤ 15; –5 ≤ u ≤ 5)
   Jelölőnégyzetek:
   • Hozzárendelési szabály: a függvény hozzárendelési szabályát írja ki.
   • Mozgatás: megjelenik a P pont. Ennek segítségével a grafikon mozgatható, ha –15 ≤ v ≤ 15; –5 ≤ u ≤ 5.
   • Aszimptota: a koordináta-rendszerben megjelenik a függvénygörbe aszimptotája egy szaggatott vonallal jelölve. Az aszimptota az az egyenes, melyhez a görbe „hozzásimul”.
   • f(x)=c$\cdot$log_a(x): megjelenik az a alapú logaritmusfüggvény görbéje szaggatott vonallal jelölve.
   Kezdetben láthatatlan objektumok:
   • Ha a logaritmus alapjának (a) a 0-t vagy az 1-et választjuk, akkor megjelenik a „Nincs értelmezve!” figyelmeztetés a csúszkák felett. Ilyenkor nem jelenik meg görbe a rajzlapon.
   • A függvény hozzárendelési szabályát megjelenítő felirat a koordináta-rendszeren.
   • A függvény grafikonjának aszimptotája szaggatott vonallal.
   Kipróbálásra javasolt esetek:
   1. a < 1, c = 1, u = 0, v = 0
   2. a > 1, c = 1, u = 0, v = 0
   3. a > 1, c > 0, u = 0, v = 0
   4. a > 1, c < 0, u = 0, v = 0
   5. a > 1, c > 0, u < 0, v = 0 (aszimptota megjelenítésével is)
   6. a > 1, c > 0, u > 0, v = 0 (aszimptota megjelenítésével is)
   Az eszköztáron található ikonok: Mozgatás, Rajzlap mozgatása, Nagyítás és Kicsinyítés. Ezek segítségével a függvény grafikonját precízen meg lehet vizsgálni. (Például, ha kilóg a képernyőről, akkor mozgatással, kicsinyítéssel lehet javítani a megjelenítésen.)
   A függvény grafikonja és a paraméterek közti kapcsolat felismerése a használat közben könnyen érthetővé válik.
   A transzformációkkal kapott görbék könnyen összehasonlíthatók a kiindulási görbével, ha be van kapcsolva az f(x)=log_a(x) melletti jelölőnégyzet.
   1. FELADAT
      Határozd meg a valós számoknak azt a legbővebb részhalmazát, melyen az alábbi hozzárendelési szabályokkal megadott függvények értelmezhetők, majd az így megadott értelmezési tartományon ábrázold a függvényeket!
      1. f(x)=c$\cdot$log_a(x)
      2. f(x)=3$\cdot$log_a(x)
      3. f(x)=log₂(x+5)
      4. f(x)=log₂(x)+5
   2. FELADAT
      Ábrázold az függvényt (x ∈ R⁺)!
      
      1. Hogyan kellene megváltoztatni az f hozzárendelési szabályát, hogy az eredeti grafikon x tengelyre vonatkozó tükörképe jelenjen meg?
      2. Mit kell tenni, hogy x tengely mentén az f függvény grafikonja a háromszorosára nyúljon?
      3. Mit kell tenni, hogy y tengely mentén az f függvény görbéje a háromszorosára nyúljon?
      4. Melyik függvény grafikonját kapod meg, ha az f függvény képét eltolod az alábbi vektorral?
      Mi lesz az eltolt grafikonnal megadott függvény értelmezési tartománya és értékkészlete?
      i) w (0; 4)
      ii) w (4; 0)
      iii) w (1; 4)
   3. FELADAT
      Jellemezd az 1. feladat függvényeit a megadott szempont szerint:
      1. értékkészlet;
      2. zérushely;
      3. monotonitás;
      4. konvexitás.
   PÉLDA A LOGARITMUS GYAKORLATI ALKALMAZÁSÁRA
   Oldatok kémhatását a pH jellemzi. Mivel ez a tíz valamely hatványának kitevőjével kapcsolatos. A tízes alapú logaritmus segítségével írható fel a képlet: pH = –lg(H+ koncentráció), ahol a koncentráció $\frac{mol}{liter}$-ben értendő.
   Weber-Fechner pszichofizikai alaptörvény: az (emberi) érzet erőssége az inger logaritmusával egyenesen arányos.
   • Hangosság: az intenzitás logaritmusával arányos, decibelben mérjük.
   • Földrengés: Richter-skála a logaritmushoz kapcsolódik.
   • Rakétameghajtás: az egylépcsős rakéták elméleti végsebessége.
   • RLC-körök bekapcsolási és kikapcsolási jelenségeinek matematikai leírása.
   • Közegellenállás hatása a rezgőmozgás amplitúdójára.