GEOMATECH tananyagok

KERESÉS

Felhasználói leírás

Egy gyöngykészletek gyártásával foglalkozó cég gyáregységében kis műanyag gyöngyöket készítenek futószalagon. A gyártósorról lekerülő gyöngyök át vannak fúrva. Selejtes a gyöngy, ha nincs rajta furat.
A cégvezetés a minőségellenőrzésről Utasítást adott ki. Ebben leírják, hogy minden nap, a nap végén ellenőrizni kell az aznap gyártott gyöngyöket (több tízezer darabot). Ha a selejtarány több, mint 5%, akkor a gyártást le kell állítani és a gyártósort meg kell javítani.
Az Utasítás leírja, hogy az összes gyöngyszem megvizsgálására nincs lehetőség, ezért a minőség-ellenőrzés visszatevéses mintavétellel történik: meg kell vizsgálni 1000 gyöngyszemet, és a mintában talált selejtes gyöngyök száma alapján kell dönteni a termelés folytatásáról vagy felfüggesztéséről. Az Utasítás szerint csak akkor kell leállítani a termelést, ha a selejtes gyöngyök száma elér egy bizonyos határszámot. Ezt a határszámot az Utasításban -val jelölik, ennek értékét mindig egy külön Rendeletben határozzák meg, a cégpolitikával összhangban.

A cégvezetés természetesen nem szeretné feleslegesen felfüggeszteni a gyártást, mert az nagy költséggel járna. Ezért először is úgy döntenek, hogy a Rendeletben azt feltételezik, hogy az egy nap alatt legyártott összes gyöngy között a megengedett legnagyobb, vagyis 5% a selejtesek aránya. Tudják azt is, hogy a véletlen választás miatt az 1000 darabos mintában lehet 5%-nál kevesebb és több is a selejtesek száma.
Vajon hány selejtes gyöngy esetén lehet kijelenteni, hogy nem tartható az a feltételezés, hogy csak 5% az összes gyöngy között a selejtesek aránya?
Erre igen egyszerű választ találtak: akkor nem tartható a feltételezésük, ha a minta eredménye egy nagyon kis valószínűségű esemény bekövetkezését jelenti.
Például, ha bekövetkezik a „legalább 95 selejtes van az 1000 kiválasztott gyöngy között” esemény (tehát 95 vagy még több selejtes van a gyöngyök között), akkor biztosan nem tartható az eredeti feltételezés. Ez egyben azt is jelenti, hogy ha ekkor a mintavétel eredménye miatt leállítják a termelést, akkor rendkívül kicsi annak a valószínűsége, hogy a leállítás felesleges.
A cégvezetés szerint jó lenne, ha a felesleges leállás valószínűsége nagyon kicsi, mondjuk 0,01 lenne.

A kérdés tehát az, hogy mennyi legyen a Rendeletben előírt értéke, ha azt akarják, hogy 0,01 legyen annak az eseménynek a valószínűsége, hogy „a megvizsgált 1000 gyöngyszem között legalább darab selejtes gyöngy van”.

- A visszatevéses mintavétel miatt binomiális eloszlással kell dolgoznunk. Határozd meg az eloszlás paramétereit, ha a feltételezett selejtarány 5%! Hány elemű a minta (), és egy gyöngyszem milyen valószínűséggel selejtes ()?
Az Alkalmazás segítségével lépésről lépésre megvizsgáljuk, hogy ha a selejtarány még éppen megengedett, azaz pontosan 5%, akkor az 1000 darabos mintában hány selejtes gyöngy esetén fogadható el az a kijelentés, hogy jó a gép és hány selejtes termék esetén fogadható el az, hogy nem jó a gép.

EMBED

Kérdések, megjegyzések, feladatok

AJÁNLOTT IRODALOM, FORRÁS, KERESŐ SZAVAK:
binomiális eloszlás, hipotézisvizsgálat

1. FELADAT
   Ha az összes legyártott gyöngyszemnek az 5%-a selejtes, akkor az 1000 elemű mintában várhatóan hány lesz selejtes?
   
   VÁLASZ:

   1000*0,05=50
2. FELADAT
   Ha a mintában a selejtes termékek száma 50 körüli, akkor feltételeznéd-e, hogy a gép jó? Miért?
   
   VÁLASZ:

   Igen. Ha „nem sokkal nagyobb” 50-nél, akkor az lehet a „véletlen miatt” is
3. FELADAT
   A gépet akkor tekinthetjük rossznak, ha a mintában a selejtes termékek száma „jóval több”, mint 50 darab.
   Mit gondolsz, jogos ez a feltételezés? Miért?
   
   VÁLASZ:

   Jogos. Azt feltételeztük, hogy 5% a selejtarány. Ezért nem lehet nagy annak a valószínűsége, hogy 50-nél „jóval több” selejtes gyöngy legyen a mintában. -
   Jó lenne pontosabban tudni, hogy 50-nél mennyivel több selejtes gyöngy esetén kell a gépet rossznak tekintenünk.
   Az a célunk, hogy kicsi legyen a rossz döntésünk valószínűsége (legfeljebb 0,01), másként fogalmazva kicsi legyen annak a valószínűsége, hogy a minta alapján leállítjuk a termelést, holott a valóságban jó a gép.
   MÓDSZERTANI MEGJEGYZÉSEK, TANÁRI SZEREP
   Meg kell tehát határozni a h legkisebb értékét.
4. FELADAT
   
   1. Határozd meg mennyi annak az eseménynek a valószínűsége, hogy „a mintában legalább 50 selejtes gyöngyszem lesz”?
   2. Mennyi annak a valószínűsége, hogy 50-nél kevesebblesz a selejtes gyöngyök száma?
   VÁLASZ:

   1. 0,52016
      Tehát, ha a selejtarány a valóságban 5% (azaz a gép még éppen jónak tekinthető), akkor 0,52016 a valószínűsége annak az eseménynek, hogy „az 1000 megvizsgált gyöngyszem közül legalább 50 selejtes lesz”.
   2. 1-0,52016=0,47984
5. FELADAT
   
   1. Határozd meg mennyi a valószínűsége annak az eseménynek, hogy „a mintában legalább 55 selejtes gyöngyszem lesz”?
   2. Mennyi annak a valószínűsége, hogy 55-nél kevesebb lesz a selejtes gyöngyök száma?
   VÁLASZ:

   1. 0,25288
   2. 0,74712
6. FELADAT
   
   1. Mennyi annak a valószínűsége, hogy a mintában legalább 60 selejtes gyöngyszem lesz?
   2. Mennyi annak a valószínűsége, hogy 60-nál kevesebb lesz a selejtes gyöngyök száma?
   VÁLASZ:

   1. 0,08673
   2. 0,91327
7. FELADAT
   
   1. Mennyi annak a valószínűsége, hogy a mintában legalább 65 selejtes gyöngyszem lesz?
   2. Mennyi annak a valószínűsége, hogy 65-nél kevesebb lesz a selejtes gyöngyök száma?
   VÁLASZ:

   1. 0,02075
   2. 0,97925
8. FELADAT
   Ha a mintában 50 selejtes gyöngy van, akkor érdemes-e leállítani a termelést? Miért?
   
   VÁLASZ:

   Nem érdemes. Ha azt tételeztük fel, hogy a gyártósor még éppen jó (a gyártott gyöngyök 5%-a selejt), akkor 0,52016 a valószínűsége annak, hogy az1000 darabos minta legalább 50 selejtes gyöngyöt tartalmaz, így egy 0,52016 valószínűséggel bekövetkező esemény miatt állítanánk le a gépet.
   Ez a valószínűség túl nagy, tehát ha a mintában 50 selejtes gyöngyszem van, akkor nem érdemes leállítani a termelést.
   Másképpen megfogalmazva: az 50 selejtes gyöngyszem mégnem meggyőző ahhoz, hogy a gépet rossznak tekintsük.
9. FELADAT
   Ha a mintában 55 selejtes gyöngy van, akkor érdemes-e leállítani a termelést? Miért?
   
   VÁLASZ:

   Nem érdemes. Ha azt tételeztük fel, hogy a gyártósor még éppen jó (a gyártott gyöngyök 5%-a selejt), akkor 0,2588 a valószínűsége annak, hogy az 1000 darabos mintában legalább 55 selejtes gyöngy lesz, így egy 0,2588 valószínűséggel bekövetkező esemény miatt állítanánk le a gépet.
   Ez a valószínűség túl nagy, tehát a mintában tapasztalt 55 selejtes gyöngyszem esetén még nem érdemes leállítani a termelést.
   Másképpen megfogalmazva: az 55 selejtes gyöngyszem mégnem meggyőző ahhoz, hogy a gépet rossznak tekintsük.
10. FELADAT
    Ha a mintában 60 selejtes gyöngy van, akkor le kell-e állítani a termelést? Miért?
    
    VÁLASZ:

    Nem. Ha a mintában 60 selejtes gyöngyszem van és emiatt leállítjuk a termelést, akkor 0,08673 valószínűséggel feleslegesen állítottuk le a gépet.
    A döntéshozó azonban csak (legfeljebb) 0,01 valószínűséget szeretne.
11. FELADAT
    Ha a mintában 65 selejtes gyöngy van, akkor le kell-e állítani a termelést? Miért?
    
    VÁLASZ:

    Nem. Ha a mintában 65 selejtes gyöngyszem van és emiatt leállítjuk a termelést, akkor 0,02075 valószínűséggel feleslegesen állítottuk le a gépet.
    A döntéshozó azonban csak (legfeljebb) 0,01 valószínűséget szeretne.
12. FELADAT
    A számegyenesen lévő fekete háromszöget állítsd be úgy, hogy a valószínűség legfeljebb 0,01 legyen!
    
    1. Mennyi selejtes gyöngyszem esetén állítanád le a termelést (mennyi a h értéke)?
    2. Mennyi lehet a mintában a selejtesek száma, hogy ne kelljen leállítani a termelést?
    VÁLASZ:

    A háromszöget a 68-ra kell állítani.

    1. Ha a mintában legalább 68 selejtes van, akkor le kell állítani a termelést (vagyis h=68),
    2. ha pedig legfeljebb 67 selejtes van, akkor nem kell leállítani a termelést a minta alapján.
13. FELADAT
    A 12. kérdésben szereplő 0,01-et, vagyis 1%-ot szignifikanciaszintnek nevezzük. Ez azt mutatja, hogy mennyi annak a valószínűsége, hogy a gépet a minta alapján leállítjuk, holott a valóságban nem kellene.
    Hogyan változik a megoldás, ha 0,05-ra módosítjuk a 0,01 valószínűséget (vagyis a szignifikanciaszintet)?
    
    VÁLASZ:

    Ha a mintában legalább 63 selejtes gyöngyszem van, akkor le kell állítani a termelést, ha pedig legfeljebb 62 selejtes van, akkor nem kell leállítani a termelést.
14. FELADAT
    
    1. A számegyenesen lévő fekete háromszög beállításával vizsgáld meg, hogy más intervallumokba mekkora valószínűséggel esik a selejtes gyöngyszemek száma a mintában!
    2. Vizsgáld meg, hogy mekkora határszám () tartozik 7, 8, 9 vagy 10%-os szignifikanciaszinthez!
       Amikor a szignifikanciaszint 1% volt, akkor kerestük azt a (felülről korlátos) intervallumot, amelybe a selejtes gyöngyszemek száma legalább 99%-os valószínűséggel beleesik (így nem kell leállítani a gépet) és legfeljebb 1%-os valószínűséggel nem (azaz le kell állítani a gépet). Vagyis, ha a mintában a selejtes termékek száma 67-nél nagyobb (legalább 68), akkor már jelentős (szignifikáns) az eltérés a várhatóhoz (50 darabhoz) képest és nem fogadjuk el, hogy jó a gép.
    A döntéshozatal során kétféle hibát követhetünk el:
    1. leállítjuk a termelést, holott a gép jó;
    2. nem állítjuk le a termelést, holott a gép rossz.
    Ha a szignifikanciaszintet 5%-ra növeltük, akkor nőtt ugyan annak a valószínűsége, hogy feleslegesen állítjuk le a gépet, de csökkent annak a valószínűsége, hogy nem állítjuk le, pedig le kellett volna.
    Ezt a gyakorlatban mindig át kell gondolni, hogy melyik hibát szeretnék kisebb valószínűséggel elkövetni és annak függvényében kell a szignifikanciaszintet megválasztani.
    A gyakorlatban a szignifikanciaszint 1% és 10% közé szokott esni.