GEOMATECH tananyagok

KERESÉS

Felhasználói leírás

A felügyeleti hatóság a rulettkerék szabályosságának (kiemelten a nullás gurítások számának) ellenőrzésére 1000-szer gurított egy rulettkeréken és 45 alkalommal nullát kapott. Hihető-e a kísérletsorozat eredménye alapján, hogy a kerék szabályos?

- 1000 gurításból várhatóan (1000$\cdot$$\frac{1}{37}$ ≈) 27-szer kapunk nullát. Annak a valószínűsége azonban, hogy pontosan 27-szer gurítunk nullát viszonylag kicsi, csupán 7,76%. Ha a rulettkerék szabályos, akkor a nullák száma nagy valószínűséggel „27 körüli” lesz.
A kaszinónak előnyős, ha sok a nullás gurítás, mert ebben az esetben a kaszinó minden tétet megnyer. Emiatt a felügyelet – a játékosok védelmében – csak azt tekinti szabálytalannak, ha „túl sokszor fordul elő” a nulla.

Vajon egy konkrét gurítás-sorozat után mekkora az a pozitív irányú eltérés (a 27-től), amely esetén még szabályosnak hisszük a rulettkereket?

Ezt az eltérést mi adhatjuk meg a kísérletsorozat elvégzése előtt.
Ha a kísérletsorozat elvégzése után azt tapasztaljuk, hogy az eltérés az előre megadott értéket meghaladja, akkor nem hisszük el, hogy a rulettkerék szabályos; ha nem haladja meg, akkor pedig elfogadjuk azt a feltételezést, hogy a rulettkerék szabályos. Az eltérést a szignifikanciaszinttel adjuk meg.

Ha a szignifikanciaszint például 5%, akkor ez meghatároz egy intervallumot, amelybe a nullák száma (legalább) 95%-os valószínűséggel beleesik (így nem hisszük azt, hogy a kerék nem szabályos) és (legfeljebb) 5%-os valószínűséggel nem esik bele (azaz inkább azt hisszük, hogy a kerék nem szabályos).

Fontos megértened, hogy akár így, akár úgy döntünk a rulettkerék szabályosságáról a kísérletsorozat eredménye alapján, a döntésünk hibás is lehet. A szignifikanciaszint jelen esetben a tévedés esélyét is mutatja, azaz, hogy mennyi annak a valószínűsége, hogy a kerék szabályosságát a kísérletsorozat eredménye (azaz a minta) alapján nem fogadjuk el, holott a rulettkerék a valóságban szabályos.

FELADAT
Ha egy rulettkereket megpörgetünk 1000-szer, akkor legfeljebb mennyi lehet a nullák száma, hogy szabályosnak véljük 5%-os szignifikanciaszinten?
Másképpen fogalmazva: legfeljebb 5% legyen annak a valószínűsége, hogy hibás döntést hozunk, azaz a kerék szabályos, mi mégis szabálytalannak véljük.

EMBED

Kérdések, megjegyzések, feladatok

1. KÉRDÉS
   Ha egy rulettkerék szabályos, akkor 1000 gurítás esetén a nullák száma milyen eloszlást követ és mik a paraméterei?
   
   VÁLASZ:

   Binomiális eloszlást követ, n = 1000, p = $\frac{1}{37}$ .
2. KÉRDÉS
   A számegyenesen lévő fekete háromszög segítségével határozd meg, mennyi annak a valószínűsége, hogy a nullák száma legfeljebb 30?
   
   VÁLASZ:

   0,75618
3. KÉRDÉS
   A számegyenesen lévő fekete háromszög segítségével határozd meg, mennyi annak a valószínűsége, hogy a nullák száma legfeljebb 32?
   
   VÁLASZ:

   0,85651
4. KÉRDÉS
   A számegyenesen lévő fekete háromszög segítségével határozd meg, mennyi annak a valószínűsége, hogy a nullák száma legfeljebb 34?
   
   VÁLASZ:

   0,92337
5. KÉRDÉS
   A számegyenesen lévő fekete háromszöget állítsd be úgy, hogy a valószínűség legalább 0,95 legyen! Legfeljebb mennyi a nullák száma?
   
   VÁLASZ:

   36
6. KÉRDÉS
   A megoldást azalábbi módon is megkaphatod:
   A Valószínűség (P) mezőbe írd be, hogy 0.95 és olvasd le, hogy a mintában legfeljebb mennyi a nullák száma 95% valószínűséggel?
   
   VÁLASZ:

   36
   MÓDSZERTANI MEGJEGYZÉS
   A [0; 36] intervallum az úgynevezett elfogadási tartomány, azaz ha a nullák száma ebbe a tartományba esik, akkor az 1000 gurításból álló minta alapján nem gondolható, hogy a rulettkerék nem szabályos.
   Az elfogadási tartomány komplementere az úgynevezett visszautasítási tartomány, azaz ha a gurított nullák száma ebbe a tartományba esik, akkor inkább az hihető, hogy a rulettkerék nem szabályos (visszautasítjuk azt a hipotézist, hogy a kerék szabályos).
   Jelen esetben a visszautasítási tartomány egy részből áll.
   Hipotézisvizsgálat során a szignifikanciaszint a visszautasítási tartomány nagyságát mutatja. Ha a tartomány egy részből áll, akkor egyoldalú hipotézisvizsgálatról beszélünk.
7. KÉRDÉS
   Elhiszed-e egy rulettkerékről, hogy szabályos, ha 1000 gurításból 45 nullát kapunk?
   
   VÁLASZ:

   Ha a gurítássorozat után a nullák száma legfeljebb 36, akkor a kerékről nem feltételezzük, hogy szabálytalan, ha pedig nagyobb, akkor 5%-os szignifikanciaszinten szabálytalannak véljük (visszautasítjuk azt a feltételezést, hogy szabályos a rulettkerék).
   Utóbbi esetben azt mondjuk, hogy az eredmény szignifikáns.
   Vagyis, ha a nullák száma 36-nál nagyobb, akkor már jelentős(szignifikáns) az eltérés a várhatóhoz (a 27-hez) képest, emiatt nem fogadjuk el azt a feltételezést, hogy a kerék szabályos. Ez azt is jelenti,hogy ha a kerék szabályos, de a gurítás-sorozat után mi mégis szabálytalannak véljük, akkor ez a döntésünk hibás ugyan, de ilyen hibát legfeljebb 5%-os valószínűséggel követünk csak el.
   
   MÓDSZERTANI MEGJEGYZÉS
   Hipotézisvizsgálat során mindig követhetünk el hibát.
   
   Ebben az esetben kétféleképpen lehet hibás döntést hozni:

   • Elsőfajú hiba: a kerék szabályos, mi mégis szabálytalannak véljük.
   • Másodfajú hiba: a kerék szabálytalan, mi mégis szabályosnak véljük.

   A szignifikanciaszint az elsőfajú hiba elkövetésének valószínűségét mutatja.
   A gyakorlatban ez 1% és 10% között szokott lenni. Értékét mindig a konkrét problémának megfelelően választják, ugyanis a szignifikanciaszint (és ezzel az elsőfajú hiba valószínűségének) csökkentése a másodfajú hiba elkövetésének valószínűségét növeli. Így azt kell mérlegelni, hogy melyik hibát szeretnénk kisebb valószínűséggel elkövetni.
   A szignifikancia MINDIG NEGATÍV tartalmú és a hipotézis elvetését vonja maga után. Ha nem szignifikáns (az eltérés), akkor hihető a feltevésünk (de természetesen nem bizonyított).
   Ha valamit „statisztikailag bizonyítani” akarunk, akkor az ellentettjét kell hipotézisként feltenni és megpróbálni szignifikáns mintát találni. Ez a technikája ezeknek a statisztikai teszteknek.
   MÓDSZERTANI MEGJEGYZÉS
   Hipotézisvizsgálat során mindig követhetünk el hibát.
   Ebben az esetben kétféleképpen lehet hibás döntést hozni:
   

   • Elsőfajú hiba: a kerék szabályos, mi mégis szabálytalannak véljük.
   • Másodfajú hiba: a kerék szabálytalan, mi mégis szabályosnak véljük.

   A szignifikanciaszint az elsőfajú hiba elkövetésének valószínűségét mutatja.
   A gyakorlatban ez 1% és 10% között szokott lenni. Értékét mindig a konkrét problémának megfelelően választják, ugyanis a szignifikanciaszint (és ezzel az elsőfajú hiba valószínűségének) csökkentése a másodfajú hiba elkövetésének valószínűségét növeli. Így azt kell mérlegelni, hogy melyik hibát szeretnénk kisebb valószínűséggel elkövetni.
   A szignifikancia MINDIG NEGATÍV tartalmú és a hipotézis elvetését vonja maga után. Ha nem szignifikáns (az eltérés), akkor hihető a feltevésünk (de természetesen nem bizonyított).
   Ha valamit „statisztikailag bizonyítani” akarunk, akkor az ellentettjét kell hipotézisként feltenni és megpróbálni szignifikáns mintát találni. Ez a technikája ezeknek a statisztikai teszteknek.
   
8. KÉRDÉS
   Hogyan módosul a válaszod, ha 1% a szignifikanciaszint?
   
   VÁLASZ:

   Ha a nullák száma több mint 40, akkor szabálytalannak véljük a rulettkereket. (Ha a nullák száma több mint 40, akkor 1%-os szignifikanciaszinten nem tekinthető szabályosnak.)
9. KÉRDÉS
   Vizsgáld meg, hogy 2000 gurítás esetén legfeljebb mennyi lehet a nullák száma, hogy 5%-os szignifikanciaszinten szabályosnak tekintsük?
   
   VÁLASZ:

   Legfeljebb 66.
10. KÉRDÉS
    Hogyan módosul a válaszod, ha 1% a szignifikanciaszint?
    
    VÁLASZ:

    Legfeljebb 72.
11. KÉRDÉS
    A számegyenesen lévő fekete háromszög beállításával vizsgáld meg, hogy más intervallumba milyen valószínűséggel esik a nullák száma?