11. évfolyam

Függvényvizsgálat kalkulussal 8

KERESÉS

Felhasználói leírás

Legyen f a [-1;1] intervallumon értelmezett f(x)=x \sqrt[]{1-x^2} függvény. Vizsgáld meg az f függvényt! Használhatod a görbe egy mozgatható P pontját, a P-beli érintőt, illetve az f függvény első és második deriváltfüggvényét is. Figyeld meg, hogy van-e bármiféle kapcsolat az f függvény grafikonja, a deriváltak és az érintő között!

EMBED

Kérdések, megjegyzések, feladatok

  1. FELADAT
    Határozd meg a valós számok halmazának azt a legbővebb részhalmazát, amelyen a fenti kifejezés értelmezhető!
  2. FELADAT
    Állapítsd meg a pont mozgatásával a függvény értékkészletét!
  3. FELADAT
    Van-e a függvénynek zérushelye?
  4. FELADAT
    Van-e a függvénynek maximuma, illetve minimuma. Mennyi az értékük, és hol veszi fel ezeket?
  5. FELADAT
    Állapítsd meg a függvény paritását!
  6. FELADAT
    Hol vannak a függvények inflexiós pontjai?
  7. FELADAT
    Válassz egy tetszőleges P pontot az f függvény grafikonján, és kapcsold be a P-beli érintő funkciót! Figyeld meg, hogyan változik az érintő, ha a pontod mozgatod! Találtál-e összefüggést az érintő állása, a meredeksége (nem számszerűen) és valamelyik elemzési szempont között?
    Ha igen, akkor melyikkel?
    MAGYARÁZAT
    Ha a függvény egy nyílt intervallumban szigorúan monoton nő, akkor az érintő meredeksége az intervallum minden pontjában pozitív. Szigorúan monoton csökkenő függvény esetén az érintő meredeksége minden pontban negatív.
  8. FELADAT
    Kapcsold be a f függvény első deriváltfüggvényét!
  9. FELADAT
    Látsz-e összefüggést a derivált és az eredeti függvény valamely tulajdonsága között? (Könnyebben rájössz, ha mozgatod a pontot!)
    MAGYARÁZAT
    Egy nyílt intervallumon értelmezett, deriválható függvény akkor és csak akkor szigorúan növekedő, ha a deriváltja pozitív, és akkor és csak akkor szigorúan csökkenő, ha a deriváltja negatív. A függvény szélsőértékhelye ott lehet, ahol a derivált függvénynek zérushelye van, és ebben a pontban a második derivált nem nulla.
  10. FELADAT
    Kapcsold be az f függvény második deriváltfüggvényét!
  11. FELADAT
    Látsz-e összefüggést a második derivált és az f függvény között?
    (Könnyebben rájössz, ha mozgatod a pontot!)
    MAGYARÁZAT
    A függvény grafikonja (alulról) konvex, ahol a második derivált pozitív, és (alulról) konkáv, ahol a második derivált negatív. Görbületet ott vált (ott van áthajlási pontja, vagy másképp inflexiós pontja), ahol a második deriváltnak zérushelye van, és a második derivált előjelet vált.