11. évfolyam: Függvényvizsgálat kalkulussal 6

11. évfolyam

Függvényvizsgálat kalkulussal 6

Információ ehhez a munkalaphoz

Szükséges előismeret

Függvény fogalma, értelmezési tartománya. Függvényvizsgálati szempontok elemi úton: függvény értékkészlete, zérushelye, szélsőértéke, paritása, menete, korlátai

Módszertani célkitűzés

Ennek a tanegységnek a célja a g(x)=x² $\cdot$ e^-x² függvény megismerése elemi úton és az analízis eszközeivel. A tulajdonságokat a görbéről akár vizuálisan, akár a görbe egy mozgatható pontja, illetve a deriváltak segítségével egyaránt leolvashatjuk.

Az alkalmazás nehézségi szintje, tanárként

Könnyű, nem igényel külön készülést.

Módszertani megjegyzések, tanári szerep

A gyakorlat lehetőséget teremt a függvénygörbe alakjának és helyzetének megfigyelésére egy mozgatható pontja segítségével.
Megfigyelhető továbbá a függvénytulajdonságok és a függvény tetszőleges pontjába húzott érintő és a függvény deriváltjai közti kapcsolat.
Lehetőség van az érintő állása, az első és második derivált zérushelyeinek száma és az érintő meredekségének előjele közötti kapcsolat felismerésére.
Az f függvény vizsgálata alkalmas lehet a zárt intervallumon értelmezett függvény deriváltjának értelmezésére az intervallum végpontjaiban is. Az értelmezés természetes módon adódik a g függvény segítségével.
Hasznos, ha minden diák maga kísérletezhet az alkalmazással.
Otthon is használhatják elméleti tudásuk elmélyítésére, házi feladatok megoldásához illetve gyakorlásra.
A tananyag alkalmas frontális, egyéni és páros munkaformához is.
Ha frontálisan – például aktív táblával vagy projektorral – használjuk, igyekezzünk minél több tanulót bevonni a munkába!
Törekedjünk arra, hogy a diákok minél többet beszéljenek, fejlesztve így a szaknyelv használatát.

EMBED

Kérdések, megjegyzések, feladatok

FELADAT
Állapítsd meg a pont mozgatásával a függvény értékkészletét!

VÁLASZ:
A függvény értékkészlete a [0; 0,37] intervallum.
FELADAT
Van-e a függvénynek maximuma, illetve minimuma. Mennyi az értékük, és hol veszi fel ezeket?

VÁLASZ:
Van. Maximuma az x=1 és az x=-1 helyeken van, az itt felvett függvényérték 0,37. Minimuma a függvénynek az x=0 helyen van, az itt felvett függvényérték 0.
FELADAT
Állapítsd meg a függvény paritását!

VÁLASZ:
A függvény páros.
FELADAT
Hol vannak a függvények inflexiós pontjai?

VÁLASZ:
A függvénynek inflexiós pontja –1,51-ben; –0,47-ben; 0,47-ben és 1,51-ben van.
FELADAT
Válassz egy tetszőleges P pontot az f függvény grafikonján, és kapcsold be a P-beli érintő funkciót! Figyeld meg, hogyan változik az érintő, ha a pontod mozgatod! Találtál-e összefüggést az érintő állása, a meredeksége (nem számszerűen) és valamelyik elemzési szempont között?
Ha igen, akkor melyikkel?

VÁLASZ:
Ha a függvény egy nyílt intervallumban szigorúan monoton nő, akkor az érintő meredeksége az intervallum minden pontjában pozitív. Szigorúan monoton csökkenő függvény esetén az érintő meredeksége minden pontban negatív.
FELADAT
Kapcsold be a g függvény első deriváltfüggvényét!

VÁLASZ:
A g függvény első deriváltja g'(x)=2x $\cdot$ e^-x²(1-x²), x ∈ R függvény.
FELADAT
Látsz-e összefüggést a derivált és az eredeti függvény valamely tulajdonsága között? (Könnyebben rájössz, ha mozgatod a pontot!)

VÁLASZ:
Igen. Egy nyílt intervallumon értelmezett, deriválható függvény akkor és csak akkor szigorúan növekedő, ha a deriváltja pozitív, és akkor és csak akkor szigorúan csökkenő, ha a deriváltja negatív. A függvény szélsőértékhelye ott lehet, ahol a derivált függvénynek zérushelye van, és ebben a pontban a második derivált nem nulla.
FELADAT
Kapcsold be a g függvény második deriváltfüggvényét!

VÁLASZ:
A g függvény második deriváltja a g''(x)=2 $\cdot$ e^-x²(2x⁴-5x²+1), x ∈ R függvény
FELADAT
Látsz-e összefüggést a második derivált és a g függvény között?
(Könnyebben rájössz, ha mozgatod a pontot!)

VÁLASZ:
Igen. A függvény grafikonja (alulról) konvex, ahol a második derivált pozitív, és (alulról) konkáv, ahol a második derivált negatív. Görbületet ott vált (ott van áthajlási pontja, vagy másképp inflexiós pontja), ahol a második deriváltnak zérushelye van, és előjelet vált.