11. évfolyam: Függvényvizsgálat kalkulussal 2

11. évfolyam

Függvényvizsgálat kalkulussal 2

Információ ehhez a munkalaphoz

Szükséges előismeret

Függvény fogalmának, értelmezési tartományának ismerete. Szükséges függvényvizsgálati szempontok (elemi úton): függvény értékkészlete, zérushelye, szélsőértéke, paritása, menete, korlátai

Módszertani célkitűzés

Ennek a tanegységnek a célja egy konkrét racionális törtfüggvény megismerése elemi úton és az analízis eszközeivel. A tulajdonságokat a görbéről, a görbe egy mozgatható pontja és deriváltjai segítségével egyaránt leolvashatjuk.

Az alkalmazás nehézségi szintje, tanárként

Könnyű, nem igényel külön készülést.

Módszertani megjegyzések, tanári szerep

A gyakorlat lehetőséget teremt a függvénygörbe alakjának és helyzetének megfigyelésére egy mozgatható pontja segítségével, továbbá a függvény tulajdonságai és a függvény tetszőleges pontjába húzott érintője, illetve a függvény deriváltjai közti kapcsolat felismerésére. Ezen kívül lehetőség van az érintő állása, továbbá az első és második derivált zérushelyeinek száma, és az érintő meredekségének előjele közti kapcsolat felismerésére.

Ez a tananyag egység kifejezetten akkor hasznos, ha minden gyerek maga kísérletezhet az interaktív alkalmazással.
A tananyag egyaránt alkalmas frontális, egyéni és páros munkaformára is.
Amennyiben frontálisan – például aktív táblával vagy projektorral – használjuk, igyekezzünk minél több tanulót bevonni a munkába.
Törekedjünk arra, hogy a diákok minél többet beszéljenek, ezáltal fejlesztve a szaknyelv használatot és a matematikai kommunikációt.
A diákok otthon is használhatják elméleti tudásuk elmélyítéséhez, házi feladatok megoldásához, gyakorlásra.

Felhasználói leírás

Legyen g a R\{-1} halmazon értelmezett g(x)= $\frac{x^2}{1+x}$ függvény. Legyen az f a g leszűkítése a [-5;5] intervallumra. Vizsgáld meg az f függvényt egy mozgatható pontja segítségével! A vizsgálathoz használhatod a g függvény grafikonját is. Továbbá a görbe egy mozgatható P pontját, a P-beli érintőt, illetve a g függvény első és második deriváltfüggvényét is. Figyeld meg, hogy van-e bármiféle kapcsolat a g függvény grafikonja, a deriváltak és az érintő között!

EMBED

Kérdések, megjegyzések, feladatok

FELADAT
Válassz egy tetszőleges P pontot az f függvény grafikonján, és kapcsold be a P-beli érintő funkciót! Figyeld meg, hogyan változik az érintő, ha mozgatod a pontod!
Találtál-e összefüggést az érintő állása, illetve meredeksége (nem számszerűen) és valamelyik elemzési szempont között?
Ha igen, akkor melyikkel?

VÁLASZ:
Ha a függvény egy nyílt intervallumon szigorúan monoton növekedő, akkor az érintő meredeksége az intervallum minden pontjában pozitív. Szigorúan monoton csökkenő függvény esetén az érintő meredeksége minden pontban negatív.
FELADAT
Add meg, majd kapcsold be a függvény első derivált függvényét!

VÁLASZ:
A függvény első deriváltja az g'(x)= $\frac{2x+x^2}{(1+x)^2}$ függvény.
FELADAT
Látsz-e összefüggést a derivált és az eredeti függvény valamely tulajdonsága között? (Könnyebben rájössz, ha mozgatod a pontot!)

VÁLASZ:
Egy nyílt intervallumon értelmezett, deriválható függvény akkor és csak akkor szigorúan növekedő, ha a deriváltja pozitív, és akkor és csak akkor szigorúan csökkenő, ha a deriváltja negatív. A függvény szélsőérték helye a deriváltfüggvény zérushelye, ha a második derivált nem 0.
FELADAT
Add meg, majd kapcsold be a g függvény második deriváltfüggvényét!

VÁLASZ:
A függvény második deriváltja a g''(x)= $\frac{2}{(1+x)^3}$
FELADAT
Látsz-e összefüggést a második derivált és a függvény között?
(Könnyebben rájössz, ha mozgatod a pontot!)

VÁLASZ:
A függvény grafikonja (alulról) konvex, ahol a második derivált pozitív, és (alulról) konkáv, ahol a második derivált negatív.
Görbületet ott vált (ott van áthajlási pontja), ahol a második deriváltnak zérushelye van, és előjelet vált.