11. évfolyam
Függvény vizsgálat kalkulussal 4
Információ ehhez a munkalaphoz
Szükséges előismeret
Függvény fogalma, értelmezési tartománya. Függvényvizsgálati szempontok elemi úton: értékkészlete, zérushelye, szélsőértéke, paritása, menete, korlátai függvény
Módszertani célkitűzés
Ennek a tanegységnek a célja, a haranggörbe megismerése, elemi úton és az analízis eszközeivel. A tulajdonságokat a görbéről vizuálisan, valamint a görbe egy mozgatható pontja és a deriváltak segítségével egyaránt leolvashatjuk.
Az alkalmazás nehézségi szintje, tanárként
Könnyű, nem igényel külön készülést.
Felhasználói leírás
Legyen g a valós számok halmazán értelmezett g(x)=e-x2 függvény. Az f függvény legyen a g leszűkítése a ; intervallumra. Vizsgáld meg az f függvényt egy mozgatható pontja segítségével! A vizsgálathoz használhatod a g függvény grafikonját is. Továbbá a görbe egy mozgatható P pontját, a P-beli érintőt, illetve a g függvény első és második derivált függvényét is. Figyeld meg, hogy van-e bármiféle kapcsolat a g függvény grafikonja, a deriváltak és az érintő között!
EMBED
Kérdések, megjegyzések, feladatok
SEGÍTŐ KÉRDÉSEK ÉS JÓTANÁCSOK
- KÉRDÉS
Az elemi eszközökkel elvégezhető függvényvizsgálat kérdéseit megtalálhatod a Függvény vizsgálat elemi úton 4. című anyagban!
Milyen egyéb tulajdonságokat tudsz leolvasni a görbéről az érintő és a derivált függvények segítségével?
VÁLASZ:Kérdések és válaszok a Függvény vizsgálat elemi úton 4. című tananyagban. - KÉRDÉS
Válassz egy tetszőleges P pontot az f függvény grafikonján, és kapcsold be a -beli érintő funkciót! Figyeld meg, hogyan változik az érintő, ha mozgatod a pontod! Találtál-e összefüggést az érintő állása, illetve a meredeksége (nem számszerűen) és valamelyik elemzési szempont között?
Ha igen, akkor melyikkel?
VÁLASZ:Ha a függvény egy nyílt intervallumban szigorúan monoton növekedő, akkor az érintő meredeksége az intervallum minden pontjában pozitív. Szigorúan monoton csökkenő függvény esetén az érintő meredeksége minden pontban negatív. - FELADAT
Add meg, majd ellenőrzésként kapcsold be a g függvény első derivált függvényét!
VÁLASZ:A függvény első deriváltja az g'(x)=-2*x*e-x2 függvény. - KÉRDÉS
Látsz-e összefüggést a derivált és az eredeti függvény valamely tulajdonsága között? (Könnyebben rájössz, ha mozgatod a pontot!)
VÁLASZ:Egy nyílt intervallumon értelmezett, deriválható függvény akkor és csak akkor szigorúan növekedő, ha a deriváltja pozitív, és akkor és csak akkor szigorúan csökkenő, ha a deriváltja negatív. A függvény szélsőértékhelye a derivált függvény zérushelye, ha a második derivált nem 0. - FELADAT
Add meg, majd ellenőrzésként kapcsold be a g függvény második derivált függvényét!
VÁLASZ:A függvény második deriváltja az g''(x)=-2*x*e-x2+4*x2*e-x2 függvény. - KÉRDÉS
Látsz-e összefüggést a második derivált és a g függvény között?
(Könnyebben rájössz, ha mozgatod a pontot!)
VÁLASZ:A függvény grafikonja (alulról) konvex, ahol a második derivált pozitív, és (alulról) konkáv, ahol a második derivált negatív.
Görbületet ott vált (ott van áthajlási pontja), ahol a második deriváltnak zérushelye van, és előjelet vált.