GEOMATECH tananyagok

KERESÉS

Felhasználói leírás

Egy függvény pontbeli folytonosságát a Cauchy-féle definícióval írtuk le:
Az f függvényt folytonosnak nevezzük az értelmezési tartományának egy x₀ pontjában, ha tetszőleges ε > 0-hoz létezik olyan δ > 0 melyre, ha |x=x₀| < δ, akkor |f(x)=f(x₀)| < ε.
Egy függvényt folytonosnak nevezünk, ha értelmezési tartományának minden pontjában folytonos.
Az interaktív alkalmazásban az adott függvény folytonosságát vizsgáljuk több különböző pontban.

EMBED

Kérdések, megjegyzések, feladatok

1. FELADAT
   Figyeld meg a függvény hozzárendelési szabályát, grafikonját!
2. FELADAT
   Állítsd be x₀ értékét 0,5-re!
   Határozd meg x₀ azon környezetét, melyben a függvényértékek legfeljebb ε-nal térnek el f(x)₀ -tól!
   Állítsd be értékét a panelen található csúszka segítségével 0,3; 0,1; 0,05 értékekre!
   Olvasd le a hozzájuk tartozó δ értékeket!
3. FELADAT
   Csökkentsd tovább ε értékét!
   Igaz-e, hogy tetszőlegesen kicsi ε > 0 -hoz találunk olyan δ > 0 számot, melyre ha x az x₀–nak δ sugarú környezetében van, akkor f(x) az f(x)₀ -nak sugarú környezetébe esik?
   Kísérletezz!
   
   VÁLASZ:

   A megjelenő sávok mutatják, hogy az állítás bármilyen kicsi környezetre igaz.
4. FELADAT
   Mit mondhatunk az f függvényről az x₀=0,5 pontban?
   
   VÁLASZ:

   Ebben a pontban az f függvény folytonos.
5. FELADAT
   Állítsd be most x₀ értékét 1-re! Olvasd le a függvényértéket!
   
   VÁLASZ:

   f(1)=1,5
6. FELADAT
   Legyen ε=0,8!
   Határozd meg x₀=1-nek azon környezetét, melyben a függvényértékek legfeljebb 0,8-del térnek el az 1,5-től!
   δ=0,163 tehát ha |x-1| < 0,163, akkor |f(x)-1,5| < 0,8.
7. FELADAT
   Állítsd be ε értékét 0,5-re vagy annál kisebb értékre! Mit tapasztalsz?
   Mit mondhatunk az függvényről az x₀=1 helyen?
   
   VÁLASZ:

   Nincs az x₀=1 pontnak olyan környezete, melyben az összes függvényérték 1,5±ε értékek között lenne.
   Az f függvény az x₀=1 helyen nem folytonos.
8. FELADAT
   Mit mondhatunk az egész függvényről?
   
   VÁLASZ:

   Az f függvény nem folytonos, mert van olyan hely az értelmezési tartományában, ahol nem folytonos.
9. FELADAT
   Válassz újabb x₀ értéket! Mit tapasztalsz?
   
   VÁLASZ:

   Az f függvény bármely x≠1 helyen folytonos.

KITEKINTÉS
A függvény folytonosságának megfogalmazására más definíciók is léteznek.
Heine-féle definíció:
Az f függvényt folytonosnak nevezzük az értelmezési tartományának egy x₀ pontjában, ha bármely $\lim_{n\to\infty} x_n$=x₀ esetén $\lim_{n\to\infty} f(x_n)$=f(x₀)