11. évfolyam
Az érintő meredeksége és a derivált kapcsolata
Információ ehhez a munkalaphoz
Szükséges előismeret
Érintő, derivált felírása.
Módszertani célkitűzés
A tetszőlegesen megadott függvény esetén az érintő meredekségének értéke és a derivált függvény kapcsolata.
Az alkalmazás nehézségi szintje, tanárként
Könnyű, nem igényel külön készülést.
Módszertani megjegyzés
A feladatok az f(x)=x2 függvényre vonatkoznak, melyek tetszőleges függvényre aktualizálhatók.
Felhasználói leírás
Egy kör adott pontján áthaladó érintő meredekségének kiszámítása egyszerű feladat.
Felmerül a kérdés, hogyan adható meg egy tetszőleges függvény grafikonja esetében egy adott pontbeli érintő meredeksége.
Egy kör adott pontján áthaladó érintő meredekségének kiszámítása: a kör középpontjából az adott pontba mutató vektor az érintő normálvektora, mivel kör esetén az érintési pontba húzott sugár merőleges az érintőre. A normálvektor ismeretében a meredekség könnyen számítható.
Feladatok
- FELADAT
Az ábrán az f(x)=x2, (x
R) függvény grafikonja látható. A futópontot állítsd az (1;1) pontra.
Az ábra segítségével add meg az érintő meredekségét!
VÁLASZ:Bármely egyenes meredeksége meghatározható az egyenes két pontjának koordinátáiból. E két pont által meghatározott vektor az egyenes irányvektora, melynek koordinátáiból az ismert összefüggés alapján számítható a meredekség, mely a példánk esetében 2. Segítségként a „Meredekség” funkció megjeleníti az érintőt és a meredekségi háromszöget. „Meredekség értéke” funkció bejelölt állapotában a grafikonon az aktuális ponthoz tartozó meredekség értéke pont formájában jelenik meg az ábrán. - FELADAT
Add meg az ábrázolt függvény grafikonjának (2;4) pontjához tartozó érintő meredekségét az előző módszerrel!
VÁLASZ:Például -1; -2; 2 abszcisszájú pontokban a meredekség rendre -2; -4; 4 - FELADAT
Rendezd táblázatba az előző két feladat eredményét!
VÁLASZ:x, x2 meredekség - FELADAT
Az „Első derivált” funkció megjeleníti a függvény első deriváltját. Egészítsd ki a táblázatod az első derivált függvény helyettesítési értékeivel!
A kitöltött táblázat alapján állapítsd meg, hogy milyen kapcsolat lehet egy adott pontban a függvény első deriváltja és a függvény érintőjének meredeksége között?VÁLASZ:x, x2 meredekség; első derivált helyettesítési értéke A táblázat kitöltésével észreveszik, adott értékeknél a meredekség és az első derivált helyettesítési értéke megegyezik. Ha mégsem, javasoljuk a „Meredekség értéke” funkció használatát, mely bejelölt állapotában a grafikonon az aktuális ponthoz tartozó meredekség értéke megjelenik az ábrán.