GEOMATECH tananyagok

KERESÉS

Felhasználói leírás

Vizsgáld meg az ax⁴+bx³+cx⁴+dx+e (a ≠ 0, (x $\in$ R) ) függvényt lehetőleg minél több szempont szerint.
A vizsgálathoz használhatod a függvény grafikonját, illetve segítségképpen használhatod a görbe egy mozgatható P pontját is. Az öt paramétert – a, b, c, d, e – megadhatod a megfelelő csúszkák mozgatásával, vagy a beviteli mezőbe történő beírással.

MÓDSZERTANI MEGJEGYZÉSEK, TANÁRI SZEREP
Ez a tananyagegység kifejezetten akkor hasznos, ha minden gyerek maga kísérletezhet az interaktív alkalmazással. Éppen ezért az lenne az ideális, ha olyan helyzetben találkoznának a gyerekek ezzel a feladattal (pl. házi feladatként), ahol van lehetőségük a kísérletezésre.

A tananyagegység célja annak megfigyelése, hogy hogyan hat az ax⁴ | bx³ | cx² | dx c (a ≠ 0, (x $\in$ R) ) függvényre paramétereinek megváltoztatása. Az öt paraméter – – megadására a megfelelő csúszkák mozgatásával, vagy a beviteli mezőbe történő beírással van módunk.

A gyakorlat lehetőséget teremt a függvénygörbe alakja és helyzete, illetve a paraméterek közötti kapcsolat felismerésére, továbbá a függvényelemzés elvégzésére.
(A függvény alakjára gyakorolt hatás megfogalmazása nem annyira egyszerű, a korrekt megfogalmazás nem elvárás.)
Megfogalmazható továbbá (emelt szint) – a grafikon alapján – hogy általánosságban, mikor lesz a függvénynek egy zérushelye, és mikor nem, továbbá, hogy lehet-e egy negyedfokú függvénynek (pontosan) 2, 3, 4 vagy több zérushelye.

Ha nincs lehetősége a diákoknak egyéni számítógépes munkára, de van interaktív tábla az osztályteremben, akkor igyekezzünk az elemzéseket minél több gyerek bevonásával elvégezni. Használjuk az eszközhiányt arra, hogy beszéltessük a gyerekeket a „matematika nyelvén”. Ha befejezte a diák az elemzését, beszéljük meg, ha valahol hibás volt a gondolatmenete, de ne fedjük fel a jó megoldást! Hagyjuk, hogy akár ő, akár egy másik gyermek újra próbálkozzon.

Ha már több hasonló függvényt ábrázoltunk és jellemeztünk, akkor foglaljuk össze – mind egyéni munka esetén, mind frontális óratartás esetén –, hogy milyen általános kapcsolatokat tudunk megfogalmazni az egyes elemzési szempontok között.

NÉHÁNY KONKRÉT PARAMÉTERJAVASLAT AZ ALKALMAZÁS HASZNÁLATÁHOZ
a=1; b=3,2; c=-2,1; d=-8,4; e=1,3
a=-0,6; b=-2,1; c=-0,4; d=1,5; e=0,4
a=0,8; b=-2,1; c=-0,4; d=1,5; e=-1,7
a=0,8; b=-2,1; c=-0,2; d=-0,3; e=2

Kérdések, megjegyzések, feladatok

1. FELADAT
   Mi a függvény értékkészlete?
   
   LEHETSÉGES (HELYES / HELYTELEN) VÁLASZOK, MEGOLDÁSOK
   A konkrét függvény elemzése után, nézzük meg az egyes szempontok konkrét számértékeit, és ezek alapján válaszoljunk. Néhány lehetséges válasz, a teljesség igénye nélkül: pl.:
   • ha a ≠ 0, b=c=d=d=0, akkor a függvény alulról (a > 0) vagy felülről korlátos (a < 0), alsó korlátja (felső korlátja) a 0.
     Az értékkészlet ugyanabból az irányból zárt intervallum, az intervallum megfelelő határa szintén a 0.
     A függvénynek abszolút (globális) szélsőértéke van. A globális minimum (maximum) értéke 0, a szélsőérték helye (x=0) megegyezik a monotonitási karakterekhez tartozó intervallum kezdő (illetve záró) értékével.
   • pl: a=1; b=3,2; c=-2,1; d=-8,4; e=1,3 esetén a függvénynek lokális minimuma van a –2,49 helyen, a minimum értéke –1,77.
     Lokális maximuma van a –0,89 helyen, a maximum értéke 5,48, és abszolút (globális) minimuma van a 0,95 helyen, a minimum értéke –5,02.
     A függvény tehát alulról korlátos, az értékkészlete balról zárt intervallum. A függvény tartalmaz szigorúan monoton csökkenő, illetve növekvő részeket.
     Szigorúan monoton csökkenő: a ]-∞; -2,49[, illetve, a ]-0.89; 0,95[ intervallumon. Szigorúan monoton növekvő a függvény a [-2,49; -0,89], illetve a [0,95; +∞] intervallumon. A szélsőérték helyek az egyes intervallumok megfelelő végpontjaival esnek egybe. A megadott számok a leolvasás pontosságától függően természetesen mások is lehetnek. Célszerű a nagyításokkal is operálni, ha pontosabb leolvasásokat szeretnénk.
2. FELADAT
   Van-e zérushelye a függvénynek?
   2.1. Ha van, akkor mennyi van, és mi az / melyek azok?
3. FELADAT
   Van-e szélsőértéke a függvénynek?
   3.1. Ha van, akkor milyen típusú? (lokális, globális, minimum,maximum)
   3.2. Ha van, akkor hol van, és mennyi az értéke?
4. FELADAT
   Milyen monotonitási karakterrel/ karakterekkel rendelkezik a függvény, és milyen halmazon?
5. FELADAT
   Van-e konvex illetve konkáv része a függvénynek?
   5.1. Ha igen, milyen intervallumon?
6. FELADAT
   Van-e inflexiós pontja?
7. FELADAT
   Milyen a paritása?
8. FELADAT
   Periodikus-e?
   8.1. Ha igen, mi a periódusa?
9. FELADAT
   Rendelkezik-e valamilyen korláttal?
   9.1. Ha igen, milyennel, és melyik ezek közül a legkisebb felső, illetve a legnagyobb alsó?
10. FELADAT
    Vannak-e olyan elemzési szempontok, amelyek ugyan azt az értéket/helyet adják meg?