GEOMATECH tananyagok

KERESÉS

Felhasználói leírás

Van két urna. Tudod, hogy az első urnában 50 golyó van, amelyek 20%-a piros; a második urnában 50 golyó van, amelyek 50%-a piros.
Az egyik urnából valaki egyszerre kihúz 20 golyót, majd megmondja neked, hogy hány piros van a kihúzottak között.
Az a feladatod, hogy a kapott információ alapján el tudd dönteni, hogy melyik urnából húzták a golyókat, az elsőből vagy a másodikból.

Legyen az a hipotézised, hogy a golyókat az első urnából húzták!
A számodra ismertté váló minta (a 20 húzás eredménye) alapján ezt a hipotézisedet elfogadhatod vagy elvetheted, azaz döntést hozhatsz a kérdésben, hogy az első vagy a második urnából származik-e a minta.
Tudod, hogy a minta alapján hozott döntésed hibás is lehet (elsőfajú vagy másodfajú hibát követhetsz el). Azt szeretnéd, hogy a hipotézisvizsgálat során elkövethető elsőfajú és másodfajú hiba összege a lehető legkisebb legyen.

Kérdések, megjegyzések, feladatok

1. FELADAT
   Tegyük fel, hogy elhatároztad: a hipotézisedet elfogadod, ha a kihúzott golyók között legfeljebb 5-ször fordult elő piros. Ezt követően megmondják neked, hogy valójában hány piros golyó volt a kihúzott 20 golyó között, és ennek alapján te meghozod a döntésedet.
   1. Mekkora valószínűséggel követsz el elsőfajú hibát?
   2. Mekkora valószínűséggel követsz el másodfajú hibát?
   3. Mekkora a hibák valószínűségeinek összege?
   VÁLASZ:

   1. 0,1399
      Magyarázat: Elsőfajú hibát akkor követhetünk el ebben az esetben, ha az első urnából történt a húzás, de 5-nél többször húztak piros golyót (ennek valószínűsége 0,1399).
      Mi a kiinduló elhatározásunk miatt a minta alapján elvetjük a hipotézisünket, és azt fogjuk mondani, hogy a második urnából történtek a húzások.
      Ekkor tehát olyan hibás döntést hoztunk, amelynek a valószínűsége 0,1399.
   2. 0,0043
      Magyarázat: Másodfajú hibát akkor követhetünk el ebben az esetben, ha a második urnából történt a húzás, de legfeljebb 5 piros golyót húztak (ennek a valószínűsége 0,0043).
      Mi a kiinduló elhatározásunk miatt a minta alapján elfogadjuk a hipotézisünket, és azt fogjuk mondani, hogy az első urnából húzták a 20 golyót.
      Ekkor tehát olyan hibás döntést hoztunk, amelynek a valószínűsége 0,0043.
   3. 0,1399+0,0043=0,1442
2. FELADAT
   Tegyük fel, hogy elhatároztad: a hipotézisedet elfogadod, ha a kihúzott golyók között legfeljebb 6-szor fordult elő a piros. Ezt követően megmondják neked, hogy valójában hány piros golyó volt a kihúzott 20 golyó között, és ennek alapján te meghozod a döntésedet.
   1. Mekkora valószínűséggel követsz el elsőfajú hibát?
   2. Mekkora valószínűséggel követsz el másodfajú hibát?
   3. Mekkora a hibák valószínűségeinek összege?
   VÁLASZ:

   1. 0,0365
      Magyarázat: Elsőfajú hibát akkor követhetünk el ebben az esetben, ha az első urnából történt a húzás, de 6-nál többször húztak piros golyót (ennek valószínűsége 0,0365).
      Mi a kiinduló elhatározásunk miatt a minta alapján elvetjük a hipotézisünket és azt fogjuk mondani, hogy a második urnából történtek a húzások.
      Ekkor tehát olyan hibás döntést hoztunk, amelynek a valószínűsége 0,0365.
   2. 0,021
      Magyarázat: Másodfajú hibát akkor követhetünk el ebben az esetben, ha a második urnából történt a húzás, de legfeljebb 6 piros golyót húztak (ennek a valószínűsége 0,021).
      Mi a kiinduló elhatározásunk miatt a minta alapján elfogadjuk a hipotézisünket és azt fogjuk mondani, hogy az első urnából húzták a 20 golyót.
      Ekkor tehát olyan hibás döntést hoztunk, amelynek a valószínűsége 0,021.
   3. 0,0365+0,021=0,0575
3. FELADAT
   Tegyük fel, hogy elhatároztad: a hipotézisedet elfogadod, ha a kihúzott golyók között legfeljebb 7-szer fordult elő a piros. Ezt követően megmondják neked, hogy valójában hány piros golyó volt a kihúzott 20 golyó között, és ennek alapján te meghozod a döntésedet.
   1. Mekkora valószínűséggel követsz el elsőfajú hibát?
   2. Mekkora valószínűséggel követsz el másodfajú hibát?
   3. Mekkora a hibák valószínűségeinek összege?
   1. 0,0058
   2. 0,0741
   3. 0,0741+0,0058=0,0799
   Az 1-3. feladatok alapján elmondható: az adott kezdő feltételek esetén akkor lesz a kétfajta hiba valószínűségének összege a legkisebb, ha a hipotézisünk elfogadásának feltételeként azt szabjuk meg, hogy a 20 golyó között legfeljebb 6 piros golyó legyen.
4. FELADAT
   Változtasd meg a minta elemszámát (az urnákban a golyók száma 50-50, a piros golyók aránya az első, illetve második urnában változatlanul 20%, illetve 50% marad)!
   1. Az 1-3. feladatokhoz hasonlóan fogalmazz meg elfogadási feltételeket arra a hipotézisre, hogy a minta az első urnából származik.
   2. Ezután állapítsd meg az elsőfajú és a másodfajú hiba elkövetésének valószínűségét és a két valószínűség összegét is!
   3. Keresd meg mindegyik esetben azt az elfogadási feltételt, amely esetén a kétféle hiba valószínűségének összege a lehető legkisebb!
5. FELADAT
   Állítsd az urnákban lévő golyók számát 500-ra! A visszatevés nélküli minta méretét ekkor 50-től 250-ig változtathatod.
   1. Vizsgálj meg több esetet és fogalmazd meg a tapasztalataidat!
   2. Melyik esetekben tudsz „szinte biztos” döntést hozni a hipotézisedről és miért?