GEOMATECH tananyagok

KERESÉS

Felhasználói leírás

Van két urna. Tudod, hogy az első urnában 50 golyó van, amelyek 20%-a (10 darab) piros; a második urnában 50 golyó van, amelyek 50%-a (25 darab) piros.
Az egyik urnából valaki egyszerre kihúz 20 golyót, majd megmondja, hogy hány piros van a kihúzottak között.
Az a feladatod, hogy a kapott információ alapján el tudd majd dönteni, hogy melyik urnából húzták a golyókat, az elsőből vagy a másodikból. Ehhez előzetes valószínűségi számításokat kell végezned.

Kérdések, megjegyzések, feladatok

1. FELADAT
   
   1. Az első urnából 20 golyót kihúzva várhatóan hány pirosat húzunk?
   2. A második urnából 20 golyót kihúzva várhatóan hány pirosat húzunk?
   3. Ha csak annyit tudsz, hogy az egyszerre kihúzott 20 golyó között 5 piros van, akkor hogyan döntenél: az első vagy a második urnából húzták a golyókat?
   
   
   VÁLASZ:

   1. 20*$\frac{10}{50}$=4
   2. 20*$\frac{25}{50}$-10
   3. A döntést a minta alapján kell meghoznunk.
      Két egymást kizáró hipotézisünk lehet: az első urnából húzták a golyókat vagy a második urnából húzták a golyókat. Mivel a kihúzott golyó között piros van, ezért inkább azt gondoljuk (azt tartjuk hihetőbbnek), hogy a golyókat az első urnából húzták (természetesen ebben nem lehetünk biztosak).

    

   Legyen a hipotézised az, hogy az első urnából húzták a 20 golyót!
   
   VÁLASZ:

   Vizsgáljuk meg azt az állítást (hipotézist), hogy a golyót az első urnából húzták!
   Az alábbi eset fordulhat elő:

   1. Az állítás igaz és a minta alapján igaznak fogadjuk el – ekkor helyes döntést hozunk.
   2. Az állítás igaz, de a minta alapján nem fogadjuk el – ekkor hibás döntést hozunk, amelyet elsőfajú hibának nevezünk. Jele:
   3. Az állítás hamis, de a minta alapján igaznak fogadjuk el - ekkor hibás döntést hozunk, amelyet másodfajú hibának nevezünk. Jele:
   4. Az állítás hamis és a minta alapján nem fogadjuk el – ekkor helyes döntést hozunk.

    
   
   A szignifikanciaszint az elsőfajú hiba elkövetésének valószínűségét mutatja.
2. FELADAT
   A vízszintes tengelyen lévő fekete háromszög megfelelő beállítása segítségével válaszolj az alábbi kérdésekre!
   1. A mintában legfeljebb hány piros golyó fordulhat elő, hogy (legfeljebb) 5%-os szignifikanciaszinten elfogadd a hipotézisedet?
   2. Valójában hány százalékos szignifikanciaszintet jelent az a)-ban megadott válaszod?
3. FELADAT
   Mekkora valószínűséggel követsz el elsőfajú hibát, ha a hipotézisedet akkor fogadod el, ha a mintában legfeljebb 6 piros golyó van?
   
   VÁLASZ:

   Elsőfajú hibát akkor követünk el, ha a hipotézisünket elvetjük, pedig az valójában igaz. A minta alapján akkor utasítjuk el a hipotézisünket, ha a mintában -nál több piros golyó van. Ha a hipotézisünk (mégis) igaz (vagyis az első urnából húzzák a golyókat), akkor 0,0365 a valószínűsége annak az eseménynek, hogy a mintában -nál több piros golyó lesz.
   Tehát az elsőfajú hiba valószínűsége 0,0365 (3,65%).
4. FELADAT
   Mekkora valószínűséggel követsz el másodfajú hibát, ha a hipotézisedet akkor fogadod el, ha a mintában legfeljebb 6 piros golyó van?
   
   VÁLASZ:

   Másodfajú hibát akkor követünk el, ha a hipotézisünket elfogadjuk, pedig az valójában nem igaz. Ha a hipotézisünk hamis (a második urnából húzzák a golyókat), akkor 0,021 a valószínűsége annak az eseménynek, hogy a mintában legfeljebb 6 piros golyó lesz (és emiatt mi azt mondjuk, hogy az első urnából húzták a golyókat).
   Tehát a másodfajúhiba valószínűsége 0,021 (2,1).
5. FELADAT
   Hogyan változnak a 2., 3., 4. kérdésre adott válaszaid, ha tudod, hogy mindkét urnában 100 golyó van, és az elsőben közülük 20%, a másodikban pedig 50% piros?
   
   VÁLASZ:

   • Ha a kihúzott 20 golyó közül legfeljebb 7 piros van, akkor a hipotézis (legfeljebb) 5-os szignifikancia szinten elfogadható.
   • A szignifikanciaszint valójában 1.81-os.
   • Elsőfajú hibát 0,0181 (1.81) valószínűséggel követünk el.
   • Másodfajú hibát 0,1054 (10,54) valószínűséggel követünk el.
6. FELADAT
   Hogyan változnak az 5. kérdésre adott válaszok, ha 30 elemű a minta?
7. FELADAT
   Kísérletezz! Változtasd az urnákban lévő golyók számát és a minta elemszámát! Figyeld meg hogyan alakul az elsőfajú és a másodfajú hiba nagysága az egyes esetekben! Adj magyarázatot!