11. évfolyam
A hipergeometrikus és a binomiális eloszlás viszonya 1
Információ ehhez a munkalaphoz
Szükséges előismeret
Visszatevés nélküli mintavétel, visszatevéses mintavétel.
Módszertani célkitűzés
A hipergeometrikus (vagy más néven hipergeometriai) és a binomiális eloszlás összehasonlítása abban az esetben, ha egy kis elemszámú sokaságból húzunk.
Az alkalmazás nehézségi szintje, tanárként
Közepes.
Módszertani megjegyzések, tanári szerep
Az Indítás ( 
) gombbal elindítható a kísérletsorozat, ami bármikor megállítható, hogy a tanulókkal kiértékeljük az aktuális eredményeket, majd folytatható.
A sorozat elején a mintákat 1 másodpercenként vesszük, hogy megfigyelhető legyen az, hogy kezdetben a relatív gyakoriságok nagy kilengéseket mutathatnak. A kísérletek előrehaladtával a relatív gyakoriság egyre inkább közvetlenül az elméleti valószínűség körül fog ingadozni, nagy valószínűséggel nagyon kis mértékben. (A 20. mintától felgyorsul a mintavétel folyamata.)
Megfigyelhető továbbá, hogy a kétféle mintavételi mód eloszlása nagyban eltér egymástól.
Eleve a paraméterek miatt k értéke a hipergeometrikus eloszlásnál 0 és 4 közé, míg a binomiális eloszlásnál 0 és 8 közé esik.
Mivel a piros golyók aránya a sokaságban csupán 10%, így binomiális eloszlás esetén nagyon pici annak a valószínűsége, hogy 4-nél több pirosat húzunk. Emiatt ennél az eloszlásnál jellemzően 0 és 4 közé esik a pirosak száma.
A két eloszlás abban is különbözik, hogy a hipergeometrikus eloszlásnál az 1 piros golyó, a binomiális eloszlásnál pedig a 0 piros golyó előfordulásának a legnagyobb a valószínűsége.
Különbség adódik abból is, hogy egy viszonylag kis elemszámú sokaságból vettünk mintát. Egy későbbi tanegységben látni fogjuk, hogy nagy elemszámú sokaságból vett minta esetén a kétféle eloszlás között nincsen ekkora eltérés.
Tehát kis elemszámú sokaság esetén nem mindegy, hogy a mintát visszatevés nélkül vagy visszatevéssel vesszük.
Kérdések, megjegyzések, feladatok
40 golyó közül 4 piros,a többi kék. Véletlenszerűen kiválasztunk közülük 8-at visszatevés nélküli, illetve visszatevéses módszerrel is. A kísérletet végezzük el többször egymás után.
Figyeld meg a kísérletsorozatban: hogyan alakulnak a kihúzott piros golyók számának relatív gyakoriságai?
Nézd meg, ezek hogyan viszonyulnak az események elméleti valószínűségeihez!
DIÁKOKNAK SZÓLÓ BEVEZETŐ KIEGÉSZÍTÉSE
Ha visszatevés nélkül (például egyszerre) húzunk, akkor a kihúzott piros golyók száma – ami 0 és 4 közé eshet – hipergeometrikus eloszlást követ.
Ha visszatevéssel húzunk, akkor a kihúzott piros golyók száma – ami 0 és 8 közé eshet – binomiális eloszlást követ.
Minél többször végezzük el a kísérletet, a nagy számok törvénye miatt a relatív gyakoriság nagy valószínűséggel kis mértékben fog eltérni az elméleti valószínűségtől.