11. évfolyam

ElőzőKövetkező

A harmadfokú függvény vizsgálata elemi módon

KERESÉS

Felhasználói leírás

Figyeld meg, hogy hogyan hat az f(x)=ax3 | bx2 | cx | d (x \subset R, a ≠ 0) függvényre paramétereinek megváltoztatása, illetve vizsgáld meg a függvényedet lehetőleg minél több szempont szerint.
A vizsgálathoz használhatod a függvény grafikonját, illetve segítségképpen használhatod a görbe egy mozgatható P pontját is.
A négy paramétert –a b, c, d, – megadhatod a megfelelő csúszkák mozgatásával, vagy a beviteli mezőbe történő beírással.
A vizsgálathoz állítsd be a csúszkák segítségével az f(x)=x3 függvényt (x \in R).
Minden paraméter hatását ehhez a függvényhez képest vizsgáld!
Először csak az a paraméter értékét változtasd meg, és figyeld meg a változást!
Fogalmazd meg, hogy milyen hatással van a függvénygörbe alakjára az a paraméter értékének változtatása.
Most változtasd csak a b paraméter értékét és figyeld meg a változást!
Meg tudod-e fogalmazni, hogy ennek a paraméternek a változása milyen hatással van a függvénygörbére?
Mi történik akkor, ha a c paramétert változtatod? Le tudod írni a változást?
És ha a d-t változtatod?

Kérdések, megjegyzések, feladatok

  1. MILYEN HATÁSSAL VANNAK A FÜGGVÉNY KÉPÉRE AZ EGYES PARAMÉTEREK?
    1.1 Milyen hatással van a függvény képére az a paraméter változtatása?
    1.2.1 Milyen hatással van a függvénygörbére, ha a b paraméter pozitív?
    1.2.2 Milyen hatással van a függvénygörbére, ha a b paraméter negatív?
    1.3.1 Milyen hatással van a függvénygörbére, ha a c paraméter pozitív?
    1.3.2 Milyen hatással van a függvénygörbére, ha a c paraméter negatív?
    1.4.1 Milyen hatással van a függvény képére a d paraméter változtatása?
    1.4.2 Befolyásolja-e a függvénygörbe alakját a paraméter nagysága, vagy csak az előjele számít?

    LEHETSÉGES (HELYES / HELYTELEN) VÁLASZOK, MEGOLDÁSOK
    A paraméterek hatására vonatkozóan nem várunk egzakt válaszokat!
    Az alábbi válaszokat az egyes paraméterek kizárólagos változtatása esetére, az f(x)=x3 (x \in R) függvényből indulva fogalmaztuk meg!
    A négy csúszka közül az a és a d csúszka hatása a legnyilvánvalóbb.
    - Az a paraméter a függvény monotonitását változtatja.
    Negatív érték esetén szigorúan monoton csökkenő, pozitív érték esetén pedig növekvő lesz a függvény.
    - Ha a=1 és
    • a b paraméter pozitív ( c és d pedig 0), akkor a negatív számok halmazán jelenik meg egy (újabb) zérushelye a függvénynek, és lesz egy helyi maximuma, illetve lesz egy helyi minimuma is (a 0-nál).
    • a b negatív, akkor keletkezik egy pozitív zérushelye a függvénynek (a 0 továbbra is zérushely marad).
    A lokális szélsőértékek ekkor is megjelennek.
    - Ha a=1 (b és d pedig 0) és
    a c paraméter pozitív, a függvénygörbe „kiegyenesedik”; a függvény szigorúan monoton marad, és egy zérushelye lesz, ha pedig
    a c paraméter negatív, akkor a függvénynek három zérushelye lesz, amiből kettő egymás ellentettje.
    A függvénynek lokális minimuma és maximuma lesz, amelyek mind a helyükben, mind az értékükben csak előjelben térnek el.
    - Ha a=1 ( b és c pedig 0), akkor a d paraméter változtatása a kiindulási függvénygrafikonjának az y tengellyel párhuzamos
    eltolását eredményezi;
    • pozitív d-hez pozitív irányú eltolás,
    • negatív d-hez negatív irányú eltolás tartozik.
    A monotonitás és a zérushelyek száma nem változik.
  2. FELADAT
    FÜGGVÉNYVIZSGÁLAT
    2.1 Mi a függvény értékkészlete?
    2.2 Van-e zérushelye a függvénynek?
    2.2.1 Ha van, akkor mennyi van, és mi az/ mik azok?
    2.3 Van-e szélsőértéke a függvénynek?
    2.3.1 Hol van, és mennyi az értéke?
    2.4 Milyen monotonitási karakterrel/ karakterekkel rendelkezik a függvény, és melyik halmazon?
    2.5 Van-e konvex illetve konkáv része a függvénynek?
    2.5.1 Ha igen, melyik intervallumon?
    2.6 Van-e inflexiós pontja?
    2.7 Milyen a paritása?
    2.8 Periodikus-e?
    2.8.1 ha igen, mi a periódusa?
    2.9 Rendelkezik-e valamilyen korláttal?
    2.9.1 Ha igen, milyenekkel, és mi azok közül a legkisebb / legnagyobb?
  3. FELADAT
    Vannak-e a 2. pontban vizsgált függvényelemzési szempontok között olyan elemzési szempontok, amelyek ugyan azt az értéket/helyet adják meg?
    Következik-e valamelyik elemzési szempont válasza valamelyik másik elemzési szempont válaszából?
    • A LEHETSÉGES VÁLASZOK KÖZÜL NÉHÁNY, A TELJESSÉG IGÉNYE NÉLKÜL
      - Ha a harmadfokú függvénynek egynél több zérushelye van, akkor a függvénynek van lokális szélsőértéke. Ha van lokális szélsőértéke, akkor egynél több zérushelye van.
      - Ha van lokális maximuma, akkor van lokális minimuma is, és megfordítva.
      - A harmadfokú függvénynek mindig van egy zérushelye, háromnál több közös pontja azonban nem lehet a grafikonnak az x tengellyel.
      - Ha a harmadfokú függvénynek egynél több zérushelye van, vagy ha a függvénynek van lokális szélsőértéke, akkor már nem szigorúan monoton, hanem szigorúan monoton szakaszokból áll.
      - A lokális szélsőérték helye megegyezik a monotonitási karakterhez tartozó intervallum kezdő illetve végpontjával, illetve fordítva. stb.
    • LEHETSÉGES TOVÁBBI FELADATOK
      Állítsanak be a diákok a csúszkákon olyan értékeket,amelyek hatására a függvény:
      - páratlan lesz
      - a függvénynek 2 zérushelye lesz!
      Lehet-e olyan paramétereket beállítani, hogy
      - a függvény páros legyen
      - a függvénynek két max. helye legyen,
      - függvénynek ne legyen zérushelye,
      - a függvénynek 3-nál több zérushelye legyen?
ElőzőKövetkező