10. évfolyam

Szélsőérték-feladatok 4.

KERESÉS

Felhasználói leírás

Egy templom építésénél 10 méternyi acélt szánnak egy templomablak keretének kialakításához. Az „egybefüggő” ablaküveg egy téglalapot és annak egyik oldalára „felülről” illeszkedő félkört tölt ki. Ezt a formát kell keretbe foglalni. Hogyan építsék meg a keretet, hogy az ablakon a lehető legtöbb fény jusson be?
(Minél nagyobb a síkidom területe, annál több fény jut át az ablakon.) 

HASONLÓ FELADATOK

Egy székelykapunak két nyílása van: nagykapu és kiskapu. A kiskapun járnak a gyalogosok, a nagykapun járnak a szénásszekerek. Mindkét nyílás alakja egy „felül nyitott” téglalap és egy arra „felülről” illeszkedő félkör (az átmérője nélkül).

Van 15 méternyi faanyagunk, amiből el kell készítenünk egy székelykapu nagykapu részének keretét. Összesen legfeljebb hány négyzetméter lehet a kész kapu kapuszárnyainak területe? (Mennyi festék kell a lefestésükhöz, ha 1 liter festék elegendő 10 m2-nyi felület lefestésére? Hány m3-nyi faanyag kell a kapuszárnyakhoz, ha a kapuk vastagsága 2,5 cm?)

Tanácsok az interaktív alkalmazás használatához

Az interaktív alkalmazás két részből áll: a bal oldali rajzlapból a vázlattal, valamint a síkidom területét megadó függvény képéből.
Jelölések:

    • e: a hosszúság egysége,
    • te: a területegység;

A rajzlapon látható:

    • a síkidom a oldalát meghatározó csúszka (ez egyben a félkör átmérője is)
    • a síkidom K kerületét meghatározó csúszka;
    • az Újra gomb (újra): letörli a grafikont és a kiinduló pozíciókba állítja a csúszkákat: a=5e és K=15e;
    • lejátszás gomb: a síkidom oldalát animálja;
    • szünet gomb: az animációt megállítja;
    • egy színes síkidom, mely egy téglalapból és egy félkörből tevődik össze:
      kerülete K, az egyik oldala a; Leolvasható a síkidomban lévő téglalap oldalainak hossza és a síkidom területének nagysága is.
      (A téglalap egyik oldala és a félkör átmérője nem számít bele a kerületbe.)

A grafikon: a síkidom területét megadó függvény képe nyomvonallal ábrázolva az oldalhossz függvényében. A nyomvonal tetszőlegesen ki- és bekapcsolható.
A koordinátatengelyek automatikusan igazodnak a beállított K kerület nagyságához.
Az interaktív alkalmazás használatának menete: 
Először a csúszkán a síkidom kerületének beállítása, majd az oldalt meghatározó csúszka mozgatása. Megfigyelhető, hogyan változik a síkidom alakja, miközben a kerülete állandóan K marad, a grafikonon pedig a síkidom területének változása követhető nyomon.

Feladatok

  1. A téglalap „vízszintes” oldalának hossza a, „függőleges” oldalának hossza b.
    Mekkora a síkidomot határoló félkör sugara? Mekkora a körív hossza? Mekkora a félkör területe? (Mindegyiket az a oldallal kifejezve add meg!)
  2. Milyen részekből tevődik össze a síkidom kerülete? 
  3. Mekkora lehet a síkidomban lévő téglalap oldalainak hossza?
  4. Ha ismerjük a síkidomban lévő téglalap egyik oldalának hosszát és a síkidom kerületét K, akkor hogyan határozható meg a síkidomban lévő téglalap másik oldalának hossza?
  5. Milyen alakú a T grafikonja?
  6. Miért nem szimmetrikus a T függvény képe?
  7. Adott a K kerület. Mi a T függvény maximuma és maximumhelye? Hogyan határozható meg a maximum és maximumhely a K kerület segítségével?