10. évfolyam: Szélsőérték-feladatok 3.

10. évfolyam

Szélsőérték-feladatok 3.

Információ ehhez a munkalaphoz

Módszertani célkitűzés

Ez a tanegység egy öt tanegységből álló sorozat harmadik tagja, mely sorozat másodfokú szélsőérték feladatokat kíván bemutatni.
Cél: észrevenni, hogy a maximális terület esetén a téglalap oldalai fele olyan hosszúak, mint a befogók (középvonalak).

Az alkalmazás nehézségi szintje, tanárként

Könnyű, nem igényel külön készülést.

Módszertani megjegyzés, tanári szerep

Az interaktív alkalmazás alkalmas:

- frontális munkához: egy projektorral kivetítve, animációt bekapcsolva jól lehet segíteni a feladat megértését.
- pármunkához, ha legalább két gyerekenként van egy számítógép/tablet.
  Ilyenkor a gyerekeknek maguknak kell felfedezni a megoldáshoz vezető utat.
  A tanár itt csak segítő szerepet vállal!
- önálló munkához, ha minden gyerek előtt van számítógép/tablet IBL, ha csak néhány számítógép/tablet van a teremben.

Egy nagyobb mintán kartonból kivágva előre hajtogatott részekkel lehet bemutatni, hogy a két háromszög együttes területe legalább akkora, mint a téglalap területe. Tehát a téglalap területe legfeljebb a háromszög területének a fele lehet.
Ezt a maximumot pedig el is éri, pont akkor, amikor a háromszöget a két középvonala mentén összehajtva egy téglalapot kapunk.

Felhasználói leírás

Adott egy derékszögű háromszög. Ebbe rajzolunk egy téglalapot úgy, hogy annak két oldala illeszkedik a háromszög két befogójára, egy csúcsa pedig illeszkedik a háromszög átfogójára. Vizsgáljuk az így keletkező lehetséges téglalapok területét!

KAPCSOLÓDÓ FIZIKAI TEVÉKENYSÉG

Egy A/4-es lapot vágj ketté az egyik átlója mentén! Az így nyert derékszögű háromszögbe rajzolj a feladatnak megfelelő téglalapokat! Válassz ki egy téglalapot!
Ennek két oldala mentén hajtsd meg a lapot! A téglalapra ráhajtott két rész együttes területe milyen viszonyban áll a téglalap területével? (nagyobb, egyenlő, vagy kisebb)

Tanácsok az interaktív alkalmazás használatához

Az interaktív alkalmazás két részből áll: a bal oldalon elhelyezkedő rajzlapon ábrázolt háromszögből, valamint a jobb oldalon megjelenő téglalap területét megadó függvény képéből.
Jelölések:

- a: a hosszúság egysége,
- te: a területegység;
  A rajzlapon látható:
- a derékszögű háromszög.
  Ennek két befogóját az a és b csúszkákkal lehet átméretezni.
- a beírt téglalap.
  Ennek egyik oldalát a d csúszkával lehet átméretezni.
- Lejátszás gomb (): a téglalap d oldalát animálja.
- Szünet gomb (): az animációt megállítja.
- Újra gomb (): Visszaállítja az ábrát a kezdeti állapotra
  (a=10, b=15, d=10).
- nyomvonal jelölőnégyzet: ki-, illetve bekapcsolja a T függvény képén a nyomvonalat.

A grafikon a téglalap területét meghatározó függvény képe.
A koordinátatengelyek automatikusan igazodnak a beállított befogóhosszakhoz.

Feladatok

Hogyan lehet kiszámolni a téglalap azon oldalát, amelyik párhuzamos a háromszög a oldalával?
INFORMÁCIÓ
Megoldás: Az interaktív alkalmazásban a jobb oldali kis háromszög hasonló a nagy háromszöghöz. Innen a téglalap ismeretlen oldala: $x=\frac{a(b-a}{b}$ .
Ha a téglalap területét a d oldal hosszának függvényében nézzük, akkor milyen alakú ennek a T függvénynek a képe?
INFORMÁCIÓ
Megoldás: Negatív irányba nyíló parabola.
Hol van a maximális értéke a T függvénynek?
INFORMÁCIÓ
Megoldás: $d=\frac{b}{2}$ -nél van a maximum (középvonal).
Mennyi ez a maximális érték?
INFORMÁCIÓ
Megoldás: A terület maximális értéke: $\frac{ab}{4}$
Hogyan viszonyul ez a maximális érték a derékszögű háromszög területéhez?
INFORMÁCIÓ
Megoldás: Ez a háromszög területének a fele.