GEOMATECH tananyagok

KERESÉS

Felhasználói leírás

Segítheti-e egy másodfokú függvény grafikonja az egyenlőtlenség megoldását? Mi a kapcsolat egy másodfokú kifejezés gyöktényezős alakja és az egyenlőtlenség megoldása között?

 Az x milyen valós értékeire igaz az $\frac{1}{2}x^2-4x+6\lt 0$  egyenlőtlenség?

Tanácsok az interaktív alkalmazás használatához

A grafikonon az x tengelyen a piros és kék részek jelzik, hogy a másodfokú függvény értéke nagyobb, illetve kisebb 0-nál (ha piros, akkor nagyobb).
Az Újra gomb () megnyomásával a grafikon visszaáll az eredeti állapotába.

Feladatok

1. Állítsd be a csúszkákkal vagy a beviteli mezőbe írt számok segítségével a másodfokú egyenlőtlenség együtthatóit. Olvasd le az egyenlőtlenség megoldását!
   INFORMÁCIÓ

   Megoldás: $x\in \left]2; 6\right[$ vagy máskáppen $2\lt x\lt 6$
2. Igazoljuk számolással a megoldás helyességét! Írd fel a másodfokú kifejezés teljes négyzetes alakját! Ha készen vagy, akkor a megfelelő jelölőnégyzet segítségével ellenőrizd az eredményt!
   INFORMÁCIÓ

   Megoldás: A teljes négyzetalak: $0,5(x-4)^2-2$
3. Ezután vizsgáljuk meg az x tengellyel való közös pontok helyességét. Oldd meg az egyenlőtlenségből felírható másodfokú egyenletet.
   INFORMÁCIÓ

   Megoldás: A gyökök: x₁=2; x₂=6.
4. Ha van gyöke az egyenletnek, akkor ezek segítségével írd fel az egyenlet gyöktényezős alakját! A megfelelő jelölőnégyzet segítségével ellenőrizd az eredményed!
   INFORMÁCIÓ

   Megoldás: A gyöktényezős alak: 0,5(x-2)(x-6)=0.
5. Hogyan módosul az egyenlőtlenség megoldáshalmaza, ha az x csak az egész számok köréből vehet fel értékeket?
   INFORMÁCIÓ

   Megoldás: A megoldás: {3; 4; 5}.
6. Milyen megoldáshalmaza lehet egy másodfokú egyenlőtlenségnek a valós számok halmazán?
   INFORMÁCIÓ

   Megoldás: Üres halmaz, egy elemű halmaz, egy (nyílt vagy zárt) intervallum, két (nyílt vagy zárt) intervallum uniója, a valós számok halmaza (ez besorolható a nyílt intervallumok közé is).

7. További egyenlőtlenségek:
   a) $2x^2-2x-4\leq0$
   b) $x^2-6x+9 \leq 0$
   c)  $x^2+3x+2,25 \lt 0$
   d) $x^2+4x+6 \lt 0$
   e) $-x^2+3x-2 \lt 0$
   f)  $-\frac{1}{4}x^2+\frac{5}{2} x-\frac{25}{4} \lt 0$
   g) $\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{2}x+3\geq 0$
   h) $-4x^2+4x \gt 1$
   i) $4x^2+4x \gt 1$

   INFORMÁCIÓ

   Megoldás:
   a) [-1;2] vagyis $-1\leq x \leq-2$ ;
   b) $x \in {3}$ vagyis x=3;
   c) Üres halmaz, vagyis nincs ilyen valós szám.;
   d) Üres halmaz, vagyis nincs ilyen valós szám.;
   e) $x \in \left]-\infty ; 1\right[ \cup \left]2; \infty\right[$ vagyis $x \lt 1$ vagy $x \gt 2$ ;
   f) $x \in R \setminus \left\{5\right\}$ vagyis $x \neq 5, x \in R$;
   g) [-2; 3] vagyis $-2\leq x\leq 3$ ;
   h) $x\in \left\{0,5\right\}$ vagyis x=0,5, az egyenlőtlenség a többi $x \in\ R$ értékre nem teljesül már;
   i) $x \in R \setminus \left\{-0,5\right\}$ vagyis $x\neq -0,5, x \in R$ ;

8. Írj fel olyan másodfokú egyenlőtlenséget, amelyben a főegyüttható negatív, és amelynek nincs megoldása a valós számok körében.

9. Írj fel olyan másodfokú egyenlőtlenséget, amelyben a főegyüttható pozitív, az egyenlőtlenségnek végtelen sok megoldása van a valós számok körében, de az egész számok körében egy sincs!
10. Írj fel olyan másodfokú egyenlőtlenséget, amelynek pontosan egy irracionális megoldása van!
    INFORMÁCIÓ

    Megoldás: Emelt szint. EGY LEHETSÉGES VÁLASZ: $x^2-2\sqrt{2x} +2\leq 0$, azaz:$(x-\sqrt{2} )^2$