10. évfolyam: Középértékek 4.

10. évfolyam

Középértékek 4.

KERESÉS

Információ ehhez a munkalaphoz

Szükséges előismeret

Számtani, mértani, négyzetes és harmonikus közép fogalma, Pitagorasz-tétel, érintőnégyszögek.

Módszertani célkitűzés

A tanegységgel szemléltethetjük két pozitív szám számtani, mértani, négyzetes és harmonikus közepének változását, nagyságrendi viszonyait egymáshoz képest egy geometriai modell segítségével.

Az alkalmazás nehézségi szintje, tanárként

Könnyű, nem igényel külön készülést.

Módszertani megjegyzés, tanári szerep

A tanegység bemutatását a fenti kérdések végigvezetésével és megválaszolásával alapvetően frontálisan lehet elvégezni. Utána viszont érdemes a diákokat aktivitásra
ösztönözni: próbálják szabadon megváltoztatni a és b értékét és tegyenek megfigyeléseket! Ilyen megfigyelés lehet például, hogy mely esetben lesznek a középértékek egyenlők egymással. Érdemes a fent említett módon a és b nagyságrendi viszonyaira kitérni: mit változtat ez az ábrán?

LEHETSÉGES HÁZI FELADATOK

Az ábrán úgy látszik, hogy az ABCD trapéz átlóinak a metszéspontja éppen a J pontba esik. Mutasd meg, hogy ez a-tól és b-től függetlenül így lesz mindig!

TOVÁBBHALADÁSI LEHETŐSÉGEK

Érdeklődő diákokkal izgalmas lehet a közepek geometriai kapcsolatának boncolgatása.
Egy ilyen, az ábrával összefüggő, de nem egyszerű állítás a következő:
Ha egy húrtrapéz egyben érintőtrapéz is, akkor a trapéz magassága az alapok mértani közepének a kétszerese. Megfordítható-e a tétel?

BEVEZETŐ FELADAT

Gondoltad volna, hogy egy trapézban megjeleníthető akár négy nevezetes középérték is? Emellett a köztük fennálló nagyságrendi viszonyok is rögtön láthatók!

Egy szimmetrikus érintőtrapézban szeretnénk megjeleníteni az alapok felének különböző középértékeit.

Tanácsok az interaktív alkalmazás használatához

Az interaktív alkalmazásban csúszkákkal állítható a trapéz két alapjának (pontosabban az alapok felének) a hossza. A trapéz mindig szimmetrikus és érintőtrapéz marad. Jelölőnégyzetekkel lehet az egyes középértékeket megjeleníteni.

Emlékeztető

Hogyan írható fel képlettel az a és b pozitív számok számtani (A), mértani (G), harmonikus (H) és négyzetes (N) közepét?

Az ábrán látható ABCD trapéz szimmetrikus (tehát húr-) trapéz és érintőnégyszög is egyben. Az O pont a trapézba írható kör középpontját jelöli. Az alapok hosszának felét a-val, illetve b-vel jelöljük.

INFORMÁCIÓ

Megoldás:

$A=\frac{a+b}{2}$ ;

$G=\sqrt{a\cdot b}$ ;

$H=\frac{2}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b} } =\frac{2ab}{a+b}$ ;

$N=\sqrt{\frac{a^{2}+b^{2} }{2} }$

Feladatok

A G pontból a trapéz szimmetriatengelyére bocsátott merőleges talppontja legyen J! (A J pont egyben a trapéz átlóinak metszéspontja.)
Mutasd meg, hogy ekkor a GJ szakasz hossza az a és b szakaszok hosszának harmonikus közepével egyenlő!
INFORMÁCIÓ
Megoldás: Ehhez D-ből merőlegest kell állítani az AB alapra. Ez két részre osztja a GJ szakaszt. Az egyik szakaszrész hossza b (ha a>b), a másik részhossza (hasonlóság segítségével belátható): $\frac{b(a-b)}{a+b}$ E kettő összege (némi átalakítással) az a és b harmonikus közepének alakjára hozható. (Vagy hasonlósággal is eljuthatunk idáig: $ACD\triangle \sim AJG\triangle$ , mert a szögeik páronként egyenlők, tehát $GJ=CD\cdot\frac{AG}{AD}$ , vagyis $GJ=2b\cdot\frac{a}{a+b} =\frac{2ab}{a+b}$ .
Mutasd meg, hogy a trapézba írt kör sugara (, ahol az érintési pont) éppen az és szakaszok hosszának mértani közepével egyenlő!
INFORMÁCIÓ
Megoldás: A trapézba írható kör átmérője a trapéz magasságával egyenlő. A trapéz magassága (2r) egy olyan derékszögű háromszög egyik befogója, melynek másik befogója $\left|a-b\right|$ , átfogója $(a+b)$ hosszúságú. Ez utóbbi a körhöz húzott érintőszakaszok egyenlőségéből következik.
A háromszög oldalaira a Pitagorasz-tételt felírva, és az így kapott egyenletet rendezve
kapjuk: $r=\sqrt{ab}$ .
Végül az O pontból a hosszabb alap irányában a kör átmérőjére felmérve egy $\frac{\left|a-b\right| }{2}$ hosszúságú szakaszt, és az így kapott K pontot az I ponttal (az AD szár felezőpontja) összekötve egy derékszögű háromszöget kapunk. Mutasd meg, hogy ennek az átfogója éppen az a és b szakaszok hosszának négyzetes közepével egyenlő!
INFORMÁCIÓ
Megoldás: Az IKO derékszögű háromszögben az OK befogó hossza (ha a>b), $\frac{a-b}{2}$ ; az OI befogó hossza $\frac{a+b}{2}$ . Az IK átfogóra a Pitagorasz-tételt felírva kapjuk, hogy az IK szakasz hossza éppen $\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2} }$ -vel egyenlő.
Haladj végig a JGOIK törött vonalon! Állapítsd meg, hogy milyen reláció áll fenn a következő középértékek között: számtani-mértani, mértani-harmonikus, számtani-négyzetes!
INFORMÁCIÓ
Megoldás: Az egyik közép értéke mindig egy derékszögű háromszög befogója, a másik értéke ugyanannak a háromszögnek az átfogója, így a közöttük fennálló reláció könnyen leolvasható.
adott a és b értékek esetén?
INFORMÁCIÓ
Megoldás: $H\leq G\leq A\leq N$ , a relációk megjegyzését segíti a HiGANy szó rögzítése a diákok fejében.
Mikor egyenlők ezek a közepek? Mit mondhatunk el ekkor a kiindulási trapéz speciális tulajdonságairól?
INFORMÁCIÓ
Megoldás:Ha a=b, ilyenkor a trapéz egy négyzet.
Az O (beírt kör középpontja) pontban a trapéz magasságára merőlegest állítunk, ez az AD szárat az I pontban metszi. Mutasd meg, hogy az OI szakasz hossza éppen az a és b szakaszok hosszának számtani közepével egyenlő!
INFORMÁCIÓ
Megoldás: Az OI szakasz a trapéz (alapokkal párhuzamos) középvonalának a fele. Mivel a trapéz középvonalának hossza $\frac{2a+2b}{2} =a+b$ , ebből az állítás következik.