10. évfolyam: Feuerbach-kör

10. évfolyam

Feuerbach-kör

KERESÉS

Információ ehhez a munkalaphoz

Szükséges előismeret

Háromszög magasságpontja, körülírt köre, középpontos hasonlóság, kerületi szögek.

Módszertani célkitűzés

Adott háromszögben felvehetők a magasságvonalak, a magasságpont, az oldalfelező merőlegesek, a körülírt kör.
Célunk:

annak kísérleti felfedeztetése, hogy a háromszög magasságpontjának (M) az oldalegyenesekre, továbbá az oldalfelező pontokra vett tükörképei mindannyian a háromszög körülírt körére esnek.
megmutatni, hogy a háromszög körülírt körének M középpontból vett $\frac{1}{2}$ arányú kicsinyített képe átmegy a háromszög oldalfelező pontjain, a magasságok talppontjain, továbbá felezi a magasságpont és a csúcsok közötti szakaszokat.

Az alkalmazás nehézségi szintje, tanárként

Könnyű, nem igényel külön készülést.

Módszertani megjegyzés, tanári szerep

Az interaktív alkalmazásban dinamikusan változtatható szerkesztés kiváló lehetőséget ad arra, hogy a szép, de nem könnyű geometriai tételt a diák saját felfedezéseként élje meg, az állítást a látottak alapján maga is megfogalmazhassa.

Felhasználói leírás

Adott a rajzlapon egy háromszög az A, B és C csúcsokkal. Felvehető ennek magasságpontja (M) és körülírt köre.
Figyeld meg a magasságpont különböző tükörképeinek elhelyezkedését, majd a körülírt kör kicsinyítésével kapható Feuerbach-kört!

Tanácsok az interaktív alkalmazás használatához

Az interaktív alkalmazásban a szerkesztéseket nem kell lépésenként elvégezni. A jelölőnégyzetekbe kattintva a megfelelő pontok, szerkesztési lépések megjeleníthetők. A kicsinyítés a csúszka húzásával valósítható meg. A háromszög alakja a pont mozgatásával változtatható. Az Újra gombbal új kiindulási helyzetet kérhetünk.

Feladatok

Vedd fel a háromszög magasságpontját, körülírt körét a jelölő négyzetbe tett pipával!
Tükrözd a jelölőnégyzet segítségével a magasságpontot a háromszög oldalegyeneseire! Hol helyezkednek el a kapott képpontok? Mit tapasztalsz?
INFORMÁCIÓ
Megoldás: Mindhárom képpont a háromszög körülírt körére esik.
Kicsinyítsd a háromszög körülírt körét a rajta található 9 ponttal $(A, B, C, M^{'}_{a}, M^{'}_{b}, M^{'}_{c},M^{''}_{a} , M^{''}_{b}, M^{''}_{c})$ együtt a magasságpontból $(M)\lambda = \frac{1}{2}$ arányban! (Húzd a csúszka értékét 1-ről ½-re!) Mely pontokra illeszkedik az eredményül kapott kör?
INFORMÁCIÓ
Megoldás: Eredményül a háromszög Feuerbach-körét (9 pont köre) kapjuk, mely illeszkedik a háromszög oldalfelező pontjaira $F_{a}, F_{b}, F_{c},$ , a magasságok talppontjaira ( $T_{a}, T_{b} , T_{c}$ ), továbbá a magasságpontot a csúcsokkal összekötő szakaszok felező pontjaira ( $A^{'}, B^{'}, C^{'}$ ).
Melyik pont lesz a kapott Feuerbach-kör középpontja?
INFORMÁCIÓ
Megoldás: A háromszög magasságpontját (M) és a körülírt kör középpontját (O) összekötő szakasz felezőpontja (K).
Mekkora lesz a Feuerbach-kör sugara?
INFORMÁCIÓ
Megoldás: A háromszög Feuerbach-körének sugara ( $\gamma_{F}$ )fele akkora, mint a körülírt körének sugara (R). $\gamma_{F}=\frac{R}{2}$ .
Házi feladat: Az alkalmazásban „látjuk”, hogy a magasságpont megfelelő tükörképei a háromszög körülírt körére esnek. A tapasztalaton túl indokold is meg, miért igaz ez minden háromszögre!
Házi feladat: Rajzold meg az MO egyenest! A háromszög mely nevezetes pontja illeszkedik még erre az egyenesre?
Legyen MO=1 egység hosszú! Mekkora lesz ekkor az egyenesre illeszkedő többi nevezetes pont távolsága egymástól?